[wiskunde] Afgeleide van de inverse

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Afgeleide van de inverse

"Zij n een oneven natuurlijk getal. Beschouw de functie f: R -> R: x |-> xn. Omdat n oneven is, is dit een bijectie. De inverse functie wordt gegeven door

g: R -> R: y -> y( 1 / n). De functie f is overal afleidbaar en voor x ≠ 0

is f'(x) = nx(n - 1) ≠ 0. Als y ≠ 0 zal g bijgevolg afleidbaar zijn in y en bovendien is


g'(y) = 1 / ( f '(g(y)) ) = 1 / (ny( n - 1 ) / n = (1 / n). y(1 / n) - 1"

Zou iemand mij hier wat meer uitleg over kunnen geven ? Deze oefening komt nl. letterlijk uit mijn cursus. Het is een voorbeeld voor:

"Propositie 5.2.4

Zij f: I ⊆ R -> J ⊆ R een bijectie tussen open intervallen I en J. Zij x ∈ I en veronderstel dat f afleidbaar is in x en dat f '(x) ≠ 0. Dan is de inverse functie f-1: J -> I afleidbaar in f(x) en

(f-1)' (f(x)) = 1 / f '(x)"



Ik snap echter niet goed waarom ze daar beginnen met y.

Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Berichten: 7.068

Re: Afgeleide van de inverse

Het is me niet helemaal duidelijk wat je niet snapt. Misschien is het volgende zinnig:
\(g(f(x)) = x\)
Leidt beide zijdes af naar x (links gebruik je de kettingregel).

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Afgeleide van de inverse

EvilBro schreef: wo 09 mei 2012, 14:52
Het is me niet helemaal duidelijk wat je niet snapt. Misschien is het volgende zinnig:
\(g(f(x)) = x\)
Leidt beide zijdes af naar x (links gebruik je de kettingregel).
f : R -> R: x |-> xn

g: R -> R: y |-> y1/n

g'(y) = (1/n).y(1/n) - 1

g'(f(x)) = (1/n).xn(1/n) - 1 = 1 / n

f '(x) = nxn - 1

(g o f)' (x) = g'(f(x)) . f'(x) = (1 / n) . nxn - 1 = xn - 1

Volgens mij maak ik hier ergens al een fout ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Afgeleide van de inverse

Biesmansss schreef: wo 09 mei 2012, 15:09
Volgens mij maak ik hier ergens al een fout ?
Ja, hier:
g'(f(x)) = (1/n).xn(1/n) - 1 = 1 / n
Dat moet zijn: g'(f(x)) = (1/n).xn[(1/n) - 1] = ... Zie je waarom?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Afgeleide van de inverse

Drieske schreef: wo 09 mei 2012, 15:15
Ja, hier:

Dat moet zijn: g'(f(x)) = (1/n).xn[(1/n) - 1] = ... Zie je waarom?
Klopt. Omdat je beide zowel (1 / n) als 1 moet vermendigvuldigen met die 'n'.

g'(f(x)) = (1/n).xn[(1/n) - 1] = (1/n).x(1 - n)

akkoord tot hier ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Berichten: 7.068

Re: Afgeleide van de inverse

Ik doelde meer op:
\(g(f(x)) = x\)
Afleiden:
\(\frac{d g(f(x))}{dx} = \frac{d x}{dx}\)
Kettingregel:
\(\frac{d g(f(x))}{d f(x)} \cdot \frac{d f(x)}{dx} = 1\)
Substitutie van
\(y=f(x)\)
:
\(\frac{d g(y)}{dy} \cdot \frac{d f(x)}{dx} = 1\)
Delen (dit is de reden voor je "ongelijk aan nul"-voorwaarde):
\(\frac{d g(y)}{dy} = \frac{1}{\frac{d f(x)}{dx}}\)
Andere schrijfwijze:
\(g'(y) = \frac{1}{f'(x)}\)
Substitutie met beginformule:
\(g'(y) = \frac{1}{f'(g(f(x)))}\)
Substitutie van
\(y=f(x)\)
:
\(g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Afgeleide van de inverse

Biesmansss schreef: wo 09 mei 2012, 15:20
akkoord tot hier ?
Ja :) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Afgeleide van de inverse

EvilBro schreef: wo 09 mei 2012, 15:30
Ik doelde meer op:
\(g(f(x)) = x\)
Afleiden:
\(\frac{d g(f(x))}{dx} = \frac{d x}{dx}\)
Kettingregel:
\(\frac{d g(f(x))}{d f(x)} \cdot \frac{d f(x)}{dx} = 1\)
Substitutie van
\(y=f(x)\)
:
\(\frac{d g(y)}{dy} \cdot \frac{d f(x)}{dx} = 1\)
Delen (dit is de reden voor je "ongelijk aan nul"-voorwaarde):
\(\frac{d g(y)}{dy} = \frac{1}{\frac{d f(x)}{dx}}\)
Andere schrijfwijze:
\(g'(y) = \frac{1}{f'(x)}\)
Substitutie met beginformule:
\(g'(y) = \frac{1}{f'(g(f(x)))}\)
Substitutie van
\(y=f(x)\)
:
\(g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))}\)
Mijn excuses, maar we hanteren in onze cursus volgens mij uw methode niet.

Dus deze helpt mij niet echt verder; toch bedankt!
Drieske schreef: wo 09 mei 2012, 15:33
Ja :) .
Dan eindig ik uiteindelijk op x2n ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Berichten: 7.068

Re: Afgeleide van de inverse

Mijn excuses, maar we hanteren in onze cursus volgens mij uw methode niet.
Dat lijkt me onwaarschijnlijk en irrelevant. Wat ik geef is het bewijs van de propositie 5.2.4. Veel simpeler dan ik het geef kan haast niet (je hoeft alleen de kettingregel te kennen). Ik neem toch aan dat je de kettingregel gehad hebt? Dan zou je het bewijs moeten kunnen volgen en is het voorbeeld narekenen slechts een kwestie van zorgvuldig invullen (het kan natuurlijk zijn dat dat het probleem is en dat ik het probleem verkeerd begrepen heb).

Reageer