[wiskunde] Afgeleide van de inverse
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 1.201
Afgeleide van de inverse
"Zij n een oneven natuurlijk getal. Beschouw de functie f: R -> R: x |-> xn. Omdat n oneven is, is dit een bijectie. De inverse functie wordt gegeven door
g: R -> R: y -> y( 1 / n). De functie f is overal afleidbaar en voor x ≠ 0
is f'(x) = nx(n - 1) ≠ 0. Als y ≠ 0 zal g bijgevolg afleidbaar zijn in y en bovendien is
g'(y) = 1 / ( f '(g(y)) ) = 1 / (ny( n - 1 ) / n = (1 / n). y(1 / n) - 1"
Zou iemand mij hier wat meer uitleg over kunnen geven ? Deze oefening komt nl. letterlijk uit mijn cursus. Het is een voorbeeld voor:
"Propositie 5.2.4
Zij f: I ⊆ R -> J ⊆ R een bijectie tussen open intervallen I en J. Zij x ∈ I en veronderstel dat f afleidbaar is in x en dat f '(x) ≠ 0. Dan is de inverse functie f-1: J -> I afleidbaar in f(x) en
(f-1)' (f(x)) = 1 / f '(x)"
Ik snap echter niet goed waarom ze daar beginnen met y.
Dank bij voorbaat!
g: R -> R: y -> y( 1 / n). De functie f is overal afleidbaar en voor x ≠ 0
is f'(x) = nx(n - 1) ≠ 0. Als y ≠ 0 zal g bijgevolg afleidbaar zijn in y en bovendien is
g'(y) = 1 / ( f '(g(y)) ) = 1 / (ny( n - 1 ) / n = (1 / n). y(1 / n) - 1"
Zou iemand mij hier wat meer uitleg over kunnen geven ? Deze oefening komt nl. letterlijk uit mijn cursus. Het is een voorbeeld voor:
"Propositie 5.2.4
Zij f: I ⊆ R -> J ⊆ R een bijectie tussen open intervallen I en J. Zij x ∈ I en veronderstel dat f afleidbaar is in x en dat f '(x) ≠ 0. Dan is de inverse functie f-1: J -> I afleidbaar in f(x) en
(f-1)' (f(x)) = 1 / f '(x)"
Ik snap echter niet goed waarom ze daar beginnen met y.
Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 7.068
Re: Afgeleide van de inverse
Het is me niet helemaal duidelijk wat je niet snapt. Misschien is het volgende zinnig:
\(g(f(x)) = x\)
Leidt beide zijdes af naar x (links gebruik je de kettingregel).- Berichten: 1.201
Re: Afgeleide van de inverse
f : R -> R: x |-> xnEvilBro schreef: ↑wo 09 mei 2012, 14:52
Het is me niet helemaal duidelijk wat je niet snapt. Misschien is het volgende zinnig:
\(g(f(x)) = x\)Leidt beide zijdes af naar x (links gebruik je de kettingregel).
g: R -> R: y |-> y1/n
g'(y) = (1/n).y(1/n) - 1
g'(f(x)) = (1/n).xn(1/n) - 1 = 1 / n
f '(x) = nxn - 1
(g o f)' (x) = g'(f(x)) . f'(x) = (1 / n) . nxn - 1 = xn - 1
Volgens mij maak ik hier ergens al een fout ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 10.179
Re: Afgeleide van de inverse
Ja, hier:
Dat moet zijn: g'(f(x)) = (1/n).xn[(1/n) - 1] = ... Zie je waarom?g'(f(x)) = (1/n).xn(1/n) - 1 = 1 / n
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.201
Re: Afgeleide van de inverse
Klopt. Omdat je beide zowel (1 / n) als 1 moet vermendigvuldigen met die 'n'.Drieske schreef: ↑wo 09 mei 2012, 15:15
Ja, hier:
Dat moet zijn: g'(f(x)) = (1/n).xn[(1/n) - 1] = ... Zie je waarom?
g'(f(x)) = (1/n).xn[(1/n) - 1] = (1/n).x(1 - n)
akkoord tot hier ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 7.068
Re: Afgeleide van de inverse
Ik doelde meer op:
\(g(f(x)) = x\)
Afleiden:\(\frac{d g(f(x))}{dx} = \frac{d x}{dx}\)
Kettingregel:\(\frac{d g(f(x))}{d f(x)} \cdot \frac{d f(x)}{dx} = 1\)
Substitutie van \(y=f(x)\)
:\(\frac{d g(y)}{dy} \cdot \frac{d f(x)}{dx} = 1\)
Delen (dit is de reden voor je "ongelijk aan nul"-voorwaarde):\(\frac{d g(y)}{dy} = \frac{1}{\frac{d f(x)}{dx}}\)
Andere schrijfwijze:\(g'(y) = \frac{1}{f'(x)}\)
Substitutie met beginformule:\(g'(y) = \frac{1}{f'(g(f(x)))}\)
Substitutie van \(y=f(x)\)
:\(g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))}\)
- Berichten: 10.179
Re: Afgeleide van de inverse
Ja .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.201
Re: Afgeleide van de inverse
Mijn excuses, maar we hanteren in onze cursus volgens mij uw methode niet.EvilBro schreef: ↑wo 09 mei 2012, 15:30
Ik doelde meer op:
\(g(f(x)) = x\)Afleiden:
\(\frac{d g(f(x))}{dx} = \frac{d x}{dx}\)Kettingregel:
\(\frac{d g(f(x))}{d f(x)} \cdot \frac{d f(x)}{dx} = 1\)Substitutie van\(y=f(x)\):
\(\frac{d g(y)}{dy} \cdot \frac{d f(x)}{dx} = 1\)Delen (dit is de reden voor je "ongelijk aan nul"-voorwaarde):
\(\frac{d g(y)}{dy} = \frac{1}{\frac{d f(x)}{dx}}\)Andere schrijfwijze:
\(g'(y) = \frac{1}{f'(x)}\)Substitutie met beginformule:
\(g'(y) = \frac{1}{f'(g(f(x)))}\)Substitutie van\(y=f(x)\):
\(g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))}\)
Dus deze helpt mij niet echt verder; toch bedankt!
Dan eindig ik uiteindelijk op x2n ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 7.068
Re: Afgeleide van de inverse
Dat lijkt me onwaarschijnlijk en irrelevant. Wat ik geef is het bewijs van de propositie 5.2.4. Veel simpeler dan ik het geef kan haast niet (je hoeft alleen de kettingregel te kennen). Ik neem toch aan dat je de kettingregel gehad hebt? Dan zou je het bewijs moeten kunnen volgen en is het voorbeeld narekenen slechts een kwestie van zorgvuldig invullen (het kan natuurlijk zijn dat dat het probleem is en dat ik het probleem verkeerd begrepen heb).Mijn excuses, maar we hanteren in onze cursus volgens mij uw methode niet.