Ik moet volgende vraag oplossen:
Beschouw een drie-dimensionale Euclidische ruimte
\(E^{(3)}\)
waarin het punt \(p\)
en de rechte \(A\)
gegeven zijn.\(p=\left (\begin{array}{ccc} 3\\5\\-2 \end{array} \right) \qquad \qquad A = \left\{\begin{array}{ll} x_1+x_2+5x_3-9=0 \\ 2x_1+2x_3-x_3=0\end{array} \right.\)
Gevraagd: Bepaal een parametervrije vergelijking van het oppervlak dat alle punten \(x\)
bevat waarvoor:\(d(x,A)=d(x,p)\)
Dit is wat ik tot nu toe heb geprobeerd. Stel \(x=\left (\begin{array}{ccc} x_1\\x_2\\x_3 \end{array} \right)\)
. Er geldt:\(d(x,p)=\sqrt{(x_1-3)^2+(x_2-5)^2+(x_3+2)^2}\)
Ik moet nu \(d(x,A)\)
nog zien te bepalen. Ik dacht om een vlak (\(\gamma\)
) te construeren dat door \(x\)
gaat en loodrecht op de rechte \(A\)
staat. De richtingsgetallen van dit gezochte vlak \(\gamma\)
zou ik kunnen zoeken door eventueel de parametervrije vergelijking van de rechte om te zetten naar een paramameter vergelijking en dan is de richtingsvector van die rechte een stel richtingsgetallen voor het vlak, maar ik denk dat ik even goed het vectorieel product kan nemen van de richtingsgetallen van de vlakken waarvan \(A\)
de snijlijn is. De richtingsgetallen van het gezochte vlak zijn volgens mij \(u=\left (\begin{array}{ccc} -1\\1\\0 \end{array} \right)\)
. En dus wordt de vergelijking van het gezochte loodvlak\(\gamma : -x_1+x_2+d=0\)
(waarbij \(d\)
een parameter is)Ik kan dan nu het snijpunt bepalen van
\(\gamma\)
en \(A\)
, dit is volgend stelsel op lossen:\(\left\{\begin{array}{lll} -x_1+x_2+d=0 \\ x_1+x_2+5x_3-9=0 \\ 2x_1+2x_3-x_3=0\end{array} \right.\)
De oplossingen van dit stelsel zijn:\(\left\{\begin{array}{lll} x_1=\frac{d}{2}+\frac{9}{22} \\x_2=\frac{9}{22}-\frac{d}{2} \\ x_3=\frac{18}{11} \end{array} \right.\)
Noemt dit snijpunt even \(l\)
. De afstand tussen \(x\)
en \(A\)
wat gelijk is aan de afstand tussen \(x\)
en \(l\)
is:\(d(x,A)=\sqrt{\left(x_1-\frac{d}{2}-\frac{9}{22}\right)^2+\left(x_2-\frac{9}{22}+\frac{d}{2}\right)^2+\left(x_3-\frac{18}{11}\right)^2}\)
Dus de vergelijking van het gevraagde oppervlak is dan:\(\sqrt{\left(x_1-\frac{d}{2}-\frac{9}{22}\right)^2+\left(x_2-\frac{9}{22}+\frac{d}{2}\right)^2+\left(x_3-\frac{18}{11}\right)^2} = \sqrt{(x_1-3)^2+(x_2-5)^2+(x_3+2)^2}\)
Ofwel na beide leden te kwadrateren:\(\left(x_1-\frac{d}{2}-\frac{9}{22}\right)^2+\left(x_2-\frac{9}{22}+\frac{d}{2}\right)^2+\left(x_3-\frac{18}{11}\right)^2=(x_1-3)^2+(x_2-5)^2+(x_3+2)^2\)
Nu was er gevraagd voor een parametervrije vergelijking. Hoe geraak ik dus van die parameter vanaf? En is mijn werkwijze goed? (De kans op rekenfouten is vrij reeel)Alvast bedankt!
