\(
\lim_ {(x, y) \to (1, 2)} \frac {|f(x, y) - g(x, y)|} {|| (x, y) - (1, 2) ||}
\)
Geef de vergelijking voor de grafiek van het raakvlak aan f en het functievoorschrift van de totale afgeleide van f in het punt (1, 2)."\lim_ {(x, y) \to (1, 2)} \frac {|f(x, y) - g(x, y)|} {|| (x, y) - (1, 2) ||}
\)
Ik zou g als volgt opstellen:
g: R2 -> R: (1, 2) |-> f(1, 2) + D1f(1, 2).(x - 1) + D2f(1, 2).(y - 2)
= 4 - 2(x - 1) - 4(y - 2)
= 14 -2x - 4y
Nu moet ik aantonen dat
\(
\lim_ {(x, y) \to (1, 2)} \frac {|f(x, y) - g(x, y)|} {|| (x, y) - (1, 2) ||}
=\lim_ {(x, y) \to (1, 2)} \frac {|9 - x^2 - y^2 - 14 +2x + 4y|} {|| \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2} ||}
=\lim_ {(x, y) \to (1, 2)} \frac {|9 - x^2 - y^2 - 14 +2x + 4y|} {|| \sqrt{x^2 + y^2 - 2x -4y + 5} ||}
\)
We kunnen stellen dat |9 - x2 - y2 - 14 +2x + 4y| ≤ |9 + x2 + y2 + 14 +2x + 4y|\lim_ {(x, y) \to (1, 2)} \frac {|f(x, y) - g(x, y)|} {|| (x, y) - (1, 2) ||}
=\lim_ {(x, y) \to (1, 2)} \frac {|9 - x^2 - y^2 - 14 +2x + 4y|} {|| \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2} ||}
=\lim_ {(x, y) \to (1, 2)} \frac {|9 - x^2 - y^2 - 14 +2x + 4y|} {|| \sqrt{x^2 + y^2 - 2x -4y + 5} ||}
\)
Dus het volstaat om aan te tonen dat:
\(
\lim_ {(x, y) \to (1, 2)} \frac {|9 + x^2 + y^2 + 14 +2x + 4y|} {|| \sqrt{x^2 + y^2 - 2x -4y + 5}||}
\)
Maar hoe moet het nu verder ?\lim_ {(x, y) \to (1, 2)} \frac {|9 + x^2 + y^2 + 14 +2x + 4y|} {|| \sqrt{x^2 + y^2 - 2x -4y + 5}||}
\)
.
.
. Intuïtief kun je dat al vermoeden: een wortel maakt iets kwadratisch lineair, dus gaat wat in de teller staat overheersen ten opzichte van de noemer. Uiteraard is dat maar om een idee te krijgen. En graag gedaan!