Hallo,
Daarnet was ik iets aan het lezen over priemgetallen en de priemgetalstelling.
Plotseling stond er dat de functie pi(x), die het aantal priemgetallen onder een gegeven getal x geeft, benaderd kon worden door de functie f(x) = x/ln(x).
(zie wikipedia: Priemgetalstelling)
Nu staat daar plotseling dat men hieruit kan afleiden dat het n-de priemgetal kan benaderd worden door n*ln(n), wetende dat het aantal priemgetallen onder of gelijk aan x benaderd kan worden door x/ln(x).
Hoe komt men van het ene naar het andere ?
Alvast bedankt !
Laatste berichten
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
10:10
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren?
-
09:48
Schroefdraad berekening 4
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
08:56
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 11
-
22:05
projectiel 7
-
19:29
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
17:23
Rotatie van het heelal 41
-
12:15
Weerfrustratie 5
-
11:55
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
-
20 apr
Stank rotte eieren uit de warmwaterboiler 11
-
20 apr
Nut warmtepomp 18
-
20 apr
Airco bevriezings kans berekenen. 17
-
19 apr
Ik wil studeren via afstandsonderwijs, kennen jullie Tech?
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Priemgetalstelling
-
- Berichten: 264
Re: Priemgetalstelling
Ok ik heb er even over nagedacht en denk dat ik 'm intuitief heb.
Noem het n-de priemgetal benaderd door die functie
De waarde van het n-de priemgetal is dus ongeveer x. De claim is dat
Het zou fijn zijn als iemand anders dit kan bevestigen/weerleggen.
Noem het n-de priemgetal benaderd door die functie
\(n= \frac{x}{ln(x)} \Leftrightarrow n\ln(x) = x\)
(1)De waarde van het n-de priemgetal is dus ongeveer x. De claim is dat
\(x = nln(n)\)
Subsitueer dit in (1):\(n\ln(n\ln(n))=n[\ln(n) + \ln(\ln(n))] \approx n\ln(n)\)
Die dubbele log term is ontzettend klein, dus die verwaarlozen we en het gevraagde volgt. (neem bijv ln(ln(10^9)) = 3.03. Of met rekenregels de tweede term: \(\ln(\ln(10^\alpha) = \ln(\alpha \ln(10)) = \ln(\alpha)+\ln\ln(10)\)
. Waar de eerste term \(ln(10^\alpha) = \alpha \ln(10) \)
. Voor zeer grote alpha wordt het gedrag duidelijk bepaald door de eerste termHet zou fijn zijn als iemand anders dit kan bevestigen/weerleggen.
-
- Berichten: 4
Re: Priemgetalstelling
Bedankt voor de reactie !Axioma91 schreef: ↑za 12 mei 2012, 23:24
Ok ik heb er even over nagedacht en denk dat ik 'm intuitief heb.
Noem het n-de priemgetal benaderd door die functie
\(n= \frac{x}{ln(x)} \Leftrightarrow n\ln(x) = x\)(1)
De waarde van het n-de priemgetal is dus ongeveer x. De claim is dat\(x = nln(n)\)Subsitueer dit in (1):
\(n\ln(n\ln(n))=n[\ln(n) + \ln(\ln(n))] \approx n\ln(n)\)Die dubbele log term is ontzettend klein, dus die verwaarlozen we en het gevraagde volgt. (neem bijv ln(ln(10^9)) = 3.03. Of met rekenregels de tweede term:\(\ln(\ln(10^\alpha) = \ln(\alpha \ln(10)) = \ln(\alpha)+\ln\ln(10)\). Waar de eerste term\(ln(10^\alpha) = \alpha \ln(10) \). Voor zeer grote alpha wordt het gedrag duidelijk bepaald door de eerste term
Het zou fijn zijn als iemand anders dit kan bevestigen/weerleggen.
Het lijkt te kloppen. Ik zat inderdaad vast bij die tweede term, maar zoals je zegt is deze niet meer doorslaggevend t.o.v. de eerste voor grotere waarden van n.
Kan men het ook aantonen zonder dat de claim is gegeven ?
-
- Berichten: 264
Re: Priemgetalstelling
Je bedoelt een meer elementair bewijs? Je zou de priemgetalstelling kunnen bewijzen en daarmee deze stap rechtvaardigen. Het kan vast via andere paden, maar daar heb je waarschijnlijk lastige wiskunde voor nodig.
