Je weet wat de afgeleide van een functie is; bv. is de afgeleide van een functie met voorschrift g(x) = x² gelijk aan 2x. Voor deze afgeleide zijn er verschillende notaties, zoals D(g(x)), g'(x) en dg/dx.
Bij de integraal zit je functie 'tussen' het integraalteken en 'dx'. Die dx kan handig gebruikt worden bij bv. substitutie en partiële integratie; we noemen het een differentiaal. Als er niet gewoon x achter de d staat maar een functie van x, dan moet je het volgende onthouden:
d(g(x)) = g'(x)dx
In woorden: voor de differentiaal van een functie: bepaal de (gewone) afgeleide van de functie en plak er dx achter. Die notatie is in zekere zin logisch, want als je beide leden zou 'delen door dx' (met een korrel zout te nemen, dat is geen echte deling want dx is geen getal; dit is louter notatie!) krijg je de klassieke notatie die je al kende: g'(x) = dg/dx.
Zo is d(x²) = 2xdx want de afgeleide van x² was 2x, die dx plak je erachter. Maar dat kan je ook in de andere richting gebruiken: 1/x dx = d(ln(x)) want de afgeleide van ln(x) is 1/x, dus d(ln(x)) = [ln(x)]' dx = 1/x dx.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Oké. Voor een functie f gebruikt men de notatie F voor een primitieve functie van f, dus dan geldt F'(x) = f(x). In mijn vorig voorbeeld heb je met f(x) = 2x bijvoorbeeld F(x) = x². Maar dat is niet de enige primitieve, F(x) = x² + 1 voldoet ook, net zoals eender welke F(x) = x² + c met c een constante.
Dat heb je nu ook bij het 'binnen de d brengen'. Als d(g(x)) = g'(x) dx dan heb je in de andere richting meer dan één keuze, om van g'(x) dx naar d(g(x)) te gaan gebruik je eigenlijk een primitieve van g, maar zo zijn er oneindig veel. Concreet, van 2xdx kan je niet alleen d(x²) maken, maar bijvoorbeeld ook d(x²-7) of algemeen d(x²+c).
Vetgedrukt gebeuren er dus twee dingen: de grote F is notatie voor een primitieve functie van f (een functie met als afgeleide f) en bovendien is er niet één primitieve geschreven, maar onmiddellijk de verzameling van alle mogelijke primitieven door het toevoegen van die constante - net zoals bij onbepaalde integralen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Ik weet namelijk niet zeker of je dat wel zo mag doen met die haakjes en die dx.
Helemaal goed!
De rekenregels voor (gewone) afgeleiden vertalen zich vrij eenvoudig naar rekenregels voor differentialen; als f en g functies zijn van x dan geldt onder andere:
d(f+g) = df + dg
d(fg) = gdf + fdg
d(f/g) = (gdf - fdg)/g²
...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
) wel:
)