[wiskunde] Partiële afgeleide van |x| en |x - y|

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 14-05-'12, 10:10

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Parti

"Ga voor volgende functies van R2 -> R na waar ze partieel afleidbaar zijn naar hun eerste en tweede variabele."

a) f: R2 -> R: (x,y) |-> |x|

b) f: R2 -> R: (x,y) |-> |x - y|

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dus bv. voor (a) dacht ik dat ik het best kan opsplitsen in 4 mogelijkheden:

Eerst en vooral herschrijven we het functie voorschrift naar:

f: R2 -> R: (x,y) |-> x (als x ≥ 0), -x (als x < 0)

D1f(0,y) =
\( \lim_{h \to 0} \frac {|0 + h| - 0} {h} \)
=
\( \lim_{h \to 0} \frac {h} {h} \)
= 1
\( \to \)
bestaat niet ∀ y ∈ R

D1f(x,y) =
\( \lim_{h \to 0} \frac {|x + h| - |x|} {h} \)
D1f(x,y)=
\( \lim_{h \to 0} \frac {|x + h| - |x|} {h} \)
D2f(x,y)=
\( \lim_{h \to 0} \frac {|x| - |x|} {h} \)
=
\( \lim_{h \to 0} \frac {0} {h} \)
= 0 ∀ x,y ∈ R

Ik vraag mij vooral af hoe werk ik deze D1f(x,y) verder uit ? :shock:
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 14-05-'12, 10:31

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Parti

Biesmansss schreef: ↑ma 14 mei 2012, 10:10
D1f(0,y) =
\( \lim_{h \to 0} \frac {|0 + h| - 0} {h} \)
=
\( \lim_{h \to 0} \frac {h} {h} \)
= 1
\( \to \)
bestaat niet ∀ y ∈ R
Wat doe je hier? Hoezo |h| = h?
Biesmansss schreef: ↑ma 14 mei 2012, 10:10
D1f(x,y) =
\( \lim_{h \to 0} \frac {|x + h| - |x|} {h} \)
Als x>0 is |x| = x en is |x+h| ook gelijk aan x+h als h voldoende klein is; dus dan geldt:
\( \lim_{h \to 0} \frac {|x + h| - |x|} {h} = \lim_{h \to 0} \frac {x + h -x} {h} = \cdots\)
Voor x<0 kan je op dezelfde manier de partiële afgeleide bepalen. Het geval x=0 geeft aanleiding tot de limiet
\( \lim_{h \to 0} \frac {|h|} {h}\)
En die...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 14-05-'12, 10:45

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Parti

Als x > 0 krijgen we dus:
\( \lim_{ h \to 0} \frac {h} {h} = 1 \)
Als x < 0 krijgen we:
\( \lim_{ h \to 0} \frac {(-x+h) + x} {h} = \lim_{ h \to 0} \frac {-h} {h} = -1 \)
Als x = 0
\( \lim_{h \to 0} \frac {|h|} {h}\)
Euhm ja, deze kan zowel naar 1 als -1 gaan dan ? Dus die bestaat niet ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 14-05-'12, 10:48

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Parti

Biesmansss schreef: ↑ma 14 mei 2012, 10:45
\( \lim_{h \to 0} \frac {|h|} {h}\)


Euhm ja, deze kan zowel naar 1 als -1 gaan dan ? Dus die bestaat niet ?


Dat ('kan zowel gaan naar') klinkt wat vaag: de linkerlimiet is ..., de rechterlimiet is ... dus inderdaad: de limiet bestaat niet. De functie is dus niet partieel afleidbaar naar de variabele ... in het (de) punt(en) ... :) .
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 14-05-'12, 10:56

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Parti

TD schreef: ↑ma 14 mei 2012, 10:48
Dat ('kan zowel gaan naar') klinkt wat vaag: de linkerlimiet is ..., de rechterlimiet is ... dus inderdaad: de limiet bestaat niet. De functie is dus niet partieel afleidbaar naar de variabele ... in het (de) punt(en) ... :) .
LL = -1, RL = 1 dus de limiet bestaat niet; want volgens de definitie moet deze limiet hetzelfde zijn voor elke rij Xk die naar a convergeert. De functie is dus niet partieel afleidbaar naar de eerste variabele in het punt (0, y) met y ∈ R.

Beter ? :D

En hoe pak ik net (b) aan ? De functie |x - y|.

Ga ik dan kijken naar:

D1f(0,y)

D1f(x,y)

D1f(x,0)

D2f(0,y)

D2f(x,y)

D2f(x,0)

Of niet ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 14-05-'12, 11:27

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Parti

Biesmansss schreef: ↑ma 14 mei 2012, 10:56
LL = -1, RL = 1 dus de limiet bestaat niet; want volgens de definitie moet deze limiet hetzelfde zijn voor elke rij Xk die naar a convergeert. De functie is dus niet partieel afleidbaar naar de eerste variabele in de punten (0, y) met y ∈ R.

Beter ? :D
Ja ;) .
Biesmansss schreef: ↑ma 14 mei 2012, 10:56
En hoe pak ik net (b) aan ? De functie |x - y|.

Ga ik dan kijken naar:

D1f(0,y)

D1f(x,y)

D1f(x,0)

D2f(0,y)

D2f(x,y)

D2f(x,0)

Of niet ?
De punten op de x-as en y-as zijn ook van de vorm (x,y), dus ik zou die gevallen met één coördinaat vast 0 niet per se apart beschouwen. Je zit met uitdrukkingen van de vorm

(|x-y+h|-|x-y|)/h

Naar analogie met opgave a kan je dus kijken naar punten waarvoor x-y > 0 (dus x > y) en dan naar punten waarvoor x-y < 0. Het 'interessante' geval zal x=y zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 14-05-'12, 12:37

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Parti

Ja, ik begrijp het.

Aangezien de uitwerking hier equivalent is aan het voorgaande laat ik deze hier achterwegen en geef ik enkel het eind resultaat:

D1f(x,x) en D2f(y,y) bestaan niet, we krijgen weer een LL = -1 en RL = 1

D1f(x,y) = 1 (als x > y)

D1f(x,y) = -1 (als x < y)

D2f(x,y) = -1 (als x > y)

D2f(x,y) = 1 (als x < y)

Bedankt voor de hulp Tom !
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 14-05-'12, 12:54

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Parti

Oké, graag gedaan (wat LL en RL zijn voor x=y, hangt wel af van welke partiële afgeleide; dat wisselt).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”