[wiskunde] Oefeningen richtingsafgeleiden

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 18-05-'12, 19:42

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Oefeningen richtingsafgeleiden

"Beschouw de functie:

f: R2 -> R: (x, y) |->

(x.y) / (x2 + y2) als (x, y) ≠ (0, 0)

0

als (x, y) = (0, 0)

Volgens welke richtingen is deze functie afleidbaar in het punt (0, 0) ?"

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

"Beschouw de functie:

f: R2 -> R: (x, y) |->

x3 / (x2 + y2) als (x, y) ≠ (0, 0)

0

als (x, y) = (0, 0)

Ga na dat f afleidbaar is in (0, 0) volgens elke richting u en bereken ook de richtingsafgeleiden in (0, 0). Toon aan dat f desalniettemin geen eerste ordebenadering heeft in (0, 0). Probeer dit fenomeen ook te begrijpen door naar de grafiek van f te kijken."

Iemand een idee hoe aan deze oefeningen te beginnen ?

Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 19-05-'12, 10:31

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefeningen richtingsafgeleiden

De basisoplossingen voor deze twee oefeningen heb ik ondertussen zelf toch al gevonden.

Voor de tweede oefening vraag ik mij echter nog wel af hoe ik moet tonen dat deze geen eerste orde benadering heeft in (0, 0) ?

Dus:

g: R2 -> R: f(0, 0) + D1f (x - 0) + D2f(y -0)

D1f =
\( \frac {3x^2.(x^2 + y^2) - 2x^4} {(x^2 + y^2)^2} \)
D2f =
\( \frac {-2x^3y} {(x^2 + y^2)^2} \)
Kunnen we dan besluiten dat deze niet bestaat omdat we 0 in de noemers van de partiële afgeleiden krijgen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 19-05-'12, 15:42

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oefeningen richtingsafgeleiden

Nee, want als deel 1 gelukt is heb je daar gezien dat de partiële afgeleiden wel bestaan. Uit de uitdrukkingen hierboven kan je misschien afleiden dat ze echter niet continu zijn in (0,0).

Het bestaat van de partiële afgeleide is niet voldoende om te kunnen besluiten tot differentieerbaarheid en ik vermoed dat het bestaan van een lineaire benadering (in een punt) in je cursus equivalent is met differentieerbaarheid (in dat punt).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 19-05-'12, 17:33

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefeningen richtingsafgeleiden

Het eerste deel van de tweede oefening hierboven heb ik op de volgende manier gedaan:

We stellen eerst gu(t): R -> R op:

gu(t): R -> R: f(a + tu)

gu(t) =
\( \frac {t^3.u1^3} {t^2(u1^2 + u2^2)} = \frac {t.u1^3^} {(u1^2 + u2^2)} \)
Aangezien we weten dat ||u|| = 1, weten we dat u12 + u22 = 1 dus krijgen we:

gu(t) = t.u13 als t ≠ 0

gu(t) = 0 als t = 0

Wat dus uiteindelijk gewoon neer komt op:

gu(t) = t.u13

We weten dat deze afleidbaar is voor alle u, dus dat we de functie f afleidbaar is volgens elke richting.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”