[wiskunde] Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x³ + ax + b = 0

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x

"Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies één x ∈ R bestaat waarvoor

x3 + ax + b = 0."

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kies een willekeurige v ∈ R.

Zij (Xk) k ∈ N een willekeurige rij die naar deze v convergeert, dan bestaat er een k1 zodat |Xk - v| < ɛ.

Om aan te tonen dat f(x) = x3 + ax + b continue is volstaat het om aan te tonen dat voor elke rij die naar v convergeert, de beeldrij ook naar f(v) convergeert.

|(Xk)3 + a(Xk) + b - v3 - av -b|

= |(Xk)3 - v3 + a((Xk) - v)| ≤ |(Xk)3 - v3| + a|Xk - v|

(Maar hoe bewijs ik nu verder dat deze functie continu is ?)

We weten dat

Lim x -> +00 f(x) = +oo

Lim x -> -00 f(x) = -oo

Wanneer we de tussenwaardestelling hierop toepassen weten we dat er voor elke y tussen ]-00, + oo[ een overeenkostige x-waarde bestaat, hieruit volgt dat de functie minstens één nulpunt heeft.

Nu kunnen we via een bewijs uit het ongerijmde aantonen dat dit er hoogstens 1 kan zijn.

Stel dat er 2 x-waardes bestaan waarvoor f(x) = 0, noem ze x1 en x2. Dan weten we d.m.v.de middelwaarde stelling van Rolle dat er een c ∈ ]x1, x2[ bestaat zodat:
\( f'( c) = 3x^2 + a = 0 \)
Aangezien a > 0, is het niet mogelijk om van deze functie een nulpunt te vinden. Hieruit volgt dat f(x) hoogstens in nulpunt kan hebben.

Zou iemand dit bewijs eens willen nakijken en me verder willen helpen bij het rode deel.

Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x

Biesmansss schreef: wo 23 mei 2012, 10:08
Kies een willekeurige
\(v \in \mathbb{R}\)
Zij
\((x_k) _{k \in \mathbb{N}}\)
een willekeurige rij die naar deze
\(v\)
convergeert, dan bestaat er een
\(k_1\)
zodat
\(|x_k - v| < \epsilon \)
Om aan te tonen dat
\(f(x) = x^3 + ax + b\)
continu is volstaat het om aan te tonen dat voor elke rij die naar
\(v\)
convergeert, de beeldrij ook naar
\(f(v)\)
convergeert.
\(|(x_k)^3 + a(x_k) + b - v^3- av -b| = |(x_k)^3 - v^3 + a((x_k) - v)| \leq |(x_k)^3 - v^3| + a|x_k - v|\)
(Maar hoe bewijs ik nu verder dat deze functie continu is ?)
Je kan gebruik maken van het merkwaardig product:
\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
Je zal dan nog een afschatting moeten maken, hiervoor zou ik gebruik maken van het feit dat elke convergente rij begrensd is.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.312

Re: Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x

Ik heb het overigens ook gewoon algebraïsch (via de hoodstelling van de Algebra) kunnen bewijzen.

Voordeel is dat dan het: "al of niet continue zijn" niet meer ter zake doet.

Het stond er niet in de opgave bij maar het lijkt er op dat het persé analytisch moet.

Misschien is het handig dat wel te vermelden.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x

Siron schreef: wo 23 mei 2012, 10:28
Je kan gebruik maken van het merkwaardig product:
\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
Je zal dan nog een afschatting moeten maken, hiervoor zou ik gebruik maken van het feit dat elke convergente rij begrensd is.
Maar dan zit ik toch ook nog verveeld met die:

a2 + ab + b2 = (a +b)2 = (a+b).(a+b)

Maar dan zit ik met +-tekens i.p.v. - tekens, of zie ik iets over het hoofd ?
tempelier schreef: wo 23 mei 2012, 11:26
Ik heb het overigens ook gewoon algebraïsch (via de hoodstelling van de Algebra) kunnen bewijzen.

Voordeel is dat dan het: "al of niet continue zijn" niet meer ter zake doet.

Het stond er niet in de opgave bij maar het lijkt er op dat het persé analytisch moet.

Misschien is het handig dat wel te vermelden.
Aangezien ik niet wist dat het ook mogelijk is om deze oefening algebraïsch op te lossen, vermeld ik dat er uiteraard ook niet bij. :D Maar om dus onduidelijkheid te voorkomen, het is inderdaad te bedoeling dat ze analytisch wordt opgelost.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Gebruikersavatar
Berichten: 4.312

Re: Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x

Biesmansss schreef: wo 23 mei 2012, 14:33
Maar dan zit ik toch ook nog verveeld met die:

a2 + ab + b2 = (a +b)2 = (a+b).(a+b)

Maar dan zit ik met +-tekens i.p.v. - tekens, of zie ik iets over het hoofd ?

Aangezien ik niet wist dat het ook mogelijk is om deze oefening algebraïsch op te lossen, vermeld ik dat er uiteraard ook niet bij. :D Maar om dus onduidelijkheid te voorkomen, het is inderdaad te bedoeling dat ze analytisch wordt opgelost.
Voor het eerste zie je over het hoofd dat er ab staat en niet 2ab

------------------

Het tweede is jammer voor mij, ik geef nml. meestal aan de algbraïsche de voorkeur.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x


Om aan te tonen dat f(x) = x3 + ax + b continue is volstaat het om aan te tonen dat voor elke rij die naar v convergeert, de beeldrij ook naar f(v) convergeert.
Waarom bewijs je dat deze functie continu is? Dat weet je toch van i(x)=x (waarom?), en waarom geldt dat dan ook voor f.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x

Safe schreef: vr 25 mei 2012, 10:09
Waarom bewijs je dat deze functie continu is? Dat weet je toch van i(x)=x (waarom?), en waarom geldt dat dan ook voor f.


Wat bedoel je nu net met i(x) = x ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Berichten: 4.246

Re: Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x

Biesmansss schreef: zo 27 mei 2012, 10:20
Wat bedoel je nu net met i(x) = x ?
Hij bedoelt dat je met de rekenregels van continuïteit al kan bewijzen dat f continu is, het wiel opnieuw uitvinden is dus op zich niet nodig.
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x

Biesmansss schreef: zo 27 mei 2012, 10:20
Wat bedoel je nu net met i(x) = x ?
Er staat dat je aan x, x toevoegt ofwel je voegt aan een element hetzelfde element toe. We zijn gewend om dat de identieke functie te noemen.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x

dirkwb schreef: zo 27 mei 2012, 10:55
Hij bedoelt dat je met de rekenregels van continuïteit al kan bewijzen dat f continu is, het wiel opnieuw uitvinden is dus op zich niet nodig.


Welke rekenregels van continuïteit zou u daar dan op toepassen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x

De rekenregels voor som en product van continue functies.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x

Juist, dan kunnen we dit best opsplitsen in x3 en ax + b.

Van deze functies kunnen we aantonen dat ze continu zijn (eventueel x3 nog opsplitsen in x.x.x ?).
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x

Dat kun je doen, en dan de continuïteit van product gebruiken. Hangt er maar vanaf wat je al weet. Je kunt nu evengoed algemeen bewijzen dat elke polynoom, van graad n, continu is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x

Drieske schreef: ma 28 mei 2012, 09:36
Dat kun je doen, en dan de continuïteit van product gebruiken. Hangt er maar vanaf wat je al weet. Je kunt nu evengoed algemeen bewijzen dat elke polynoom, van graad n, continu is.


Wat is een polynoom juist ? Een veelterm in de vorm van xn + ax + b ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Zij a, b ∈ R met a > 0. Toon aan dat er precies 1 x bestaat waarvoor x

Sorry. Een polynoom is gewoon een veelterm in zijn meest algemene vorm.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Reageer