x3 + ax + b = 0."
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kies een willekeurige v ∈ R.
Zij (Xk) k ∈ N een willekeurige rij die naar deze v convergeert, dan bestaat er een k1 zodat |Xk - v| < ɛ.
Om aan te tonen dat f(x) = x3 + ax + b continue is volstaat het om aan te tonen dat voor elke rij die naar v convergeert, de beeldrij ook naar f(v) convergeert.
|(Xk)3 + a(Xk) + b - v3 - av -b|
= |(Xk)3 - v3 + a((Xk) - v)| ≤ |(Xk)3 - v3| + a|Xk - v|
(Maar hoe bewijs ik nu verder dat deze functie continu is ?)
We weten dat
Lim x -> +00 f(x) = +oo
Lim x -> -00 f(x) = -oo
Wanneer we de tussenwaardestelling hierop toepassen weten we dat er voor elke y tussen ]-00, + oo[ een overeenkostige x-waarde bestaat, hieruit volgt dat de functie minstens één nulpunt heeft.
Nu kunnen we via een bewijs uit het ongerijmde aantonen dat dit er hoogstens 1 kan zijn.
Stel dat er 2 x-waardes bestaan waarvoor f(x) = 0, noem ze x1 en x2. Dan weten we d.m.v.de middelwaarde stelling van Rolle dat er een c ∈ ]x1, x2[ bestaat zodat:
Zou iemand dit bewijs eens willen nakijken en me verder willen helpen bij het rode deel.
Dank bij voorbaat!