De manier waarop ik de volgende 3 proposities bewijs is mijn ogen heel eenvoudig, misschien zelfs te eenvoudig; vandaar dat ik hier bevestiging zou willen krijgen of mijn manier al dan niet goed is.
"Veronderstel dat X1 en X2 oplossingen zijn van een homogeen stelsel en dat
a1, a2 ∈ R. Dan is a1.X1 + a2.X2 ook een oplossing van dat stelsel, m.a.w. lineaire combinaties van oplossingen zijn opnieuw een oplossing. Het aantal oplossingen van een homogeen stels is ofwel één ofwel oneindig."
We weten dat:
A.X1 = 0
A.X2 = 0
Hieruit volgt:
A(a1.X1 + a2.X2) = a1.A.X1 + a2.A.X2 = a1.0 + a2.0 = 0
Veronderstel nu dat een homogeen stelsel een oplossing heeft, verschillend van 0. We weten dat:
A(a1.X) = a1.A.X = a1.0 = 0 (met a1 ∈ R). Omdat x ≠ 0 kunnen hiermee oneindig veel oplossingen gemaakt worden.
"Veronderstel dat X1 en X2 oplossingen zijn van een niet-homogeen stelsel AX = B. Dan is
X1 - X2 een oplossingen van het geassocieerde homogene stelsel AX = 0."
We weten dat
A.X1 = B
A.X2 = B
A(X1 - X2) = A.X1 - A.X2 = B - B = 0
Dus 'X1 - X2' is een oplossing van het geassocieerde homogene stelsel AX = 0
"Als Xp één particuliere oplossing van een niet-homogeen stelsel AX = B is, dan is elke andere oplossing van dat stelsel van de vorm:
X = Xp + Xh
Waarbij Xh een oplossing van het geassocieerde homogene stelsel AX = 0 is."
We weten dat:
A.Xp = B
A.Xh = 0
Uit het bewijs hierboven volgt dat:
A(Xp + Xh) = A.Xp + A.Xh = 0 + B
met x = Xp + Xh
Laatste berichten
-
22:08
wig 11
-
21:37
speciale rel. theorie 12
-
21:22
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 11
-
20:14
Aardlek-schakelaar 2
-
15:56
Programmeren met vectoren 6
-
14:53
Straatklok loopt 5 minuten voor 12
-
25 apr
Gravity and gravitation 4
-
25 apr
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
25 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
25 apr
Rood laserlicht 3
-
25 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
25 apr
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] Bewijs i.v.m. homogene stelsels
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 1.201
Bewijs i.v.m. homogene stelsels
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs i.v.m. homogene stelsels
Voor de volledigheid (voor het stuk 'één of oneindig veel oplossingen'), de nuloplossing is altijd een oplossing van een homogeen stelsel; dus er is zeker één oplossing. Als er daarnaast een tweede (dus niet-nulle) oplossing is, dan ... (jouw vervolg).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs i.v.m. homogene stelsels
TD schreef: ↑wo 23 mei 2012, 11:34
Voor de volledigheid (voor het stuk 'één of oneindig veel oplossingen'), de nuloplossing is altijd een oplossing van een homogeen stelsel; dus er is zeker één oplossing. Als er daarnaast een tweede (dus niet-nulle) oplossing is, dan ... (jouw vervolg).
Ja klopt, maar het kan dus werkelijk zo eenvoudig ? Zou u dan ook even willen kijken naar de andere 2 bewijzen hieronder (ik heb deze na uw reactie pas toegevoegd).
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs i.v.m. homogene stelsels
Tenzij je het anders bedoelt, heb ik het gevoel dat je toont dat Xp+Xh een oplossing is. Maar je wil tonen dat elke oplossing X te schrijven is als Xp+Xh...?Biesmansss schreef: ↑wo 23 mei 2012, 11:26
"Als Xp één particuliere oplossing van een niet-homogeen stelsel AX = B is, dan is elke andere oplossing van dat stelsel van de vorm:
X = Xp + Xh
Waarbij Xh een oplossing van het geassocieerde homogene stelsel AX = 0 is."
We weten dat:
A.Xp = B
A.Xh = 0
Uit het bewijs hierboven volgt dat:
A(Xp + Xh) = A.Xp + A.Xh = 0 + B
met x = Xp + Xh
Je kan X altijd schrijven als X-Xp+Xp, waaraan is X-Xp gelijk?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs i.v.m. homogene stelsels
Ik zou zeggen
X - Xp = Xh
Maar dit mag ik zo toch niet gebruiken, want dan ga ik toch uit van het te bewijzen ?
X - Xp = Xh
Maar dit mag ik zo toch niet gebruiken, want dan ga ik toch uit van het te bewijzen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs i.v.m. homogene stelsels
Hoezo? Je moet tonen dat elke oplossing X te schrijven is als Xp+Xh, gegeven dat er minstens één Xp bestaat en dat Xh een oplossing van het geassocieerde homogene stelsel is.
Wel, veronderstel dat X een oplossing is, dan is X = X-Xp+Xp = ... + Xp en dus geschreven als ... Je kan hiervoor steunen op een vorige propositie, want je weet intussen al dat als X en Xp oplossingen zijn, dan is hun verschil ...
Wel, veronderstel dat X een oplossing is, dan is X = X-Xp+Xp = ... + Xp en dus geschreven als ... Je kan hiervoor steunen op een vorige propositie, want je weet intussen al dat als X en Xp oplossingen zijn, dan is hun verschil ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs i.v.m. homogene stelsels
Veronderstel dat X een oplossing is, dan is X = X - Xp + Xp. (1)
Als X en Xp oplossingen zijn, dan is hun verschil gelijk aan Xh. We weten dus dat:
X - Xp = Xh
Wanneer we dit invullen in (1) bekomen we:
X = Xh + Xp
Waardoor het bovenstaande bewezen is.
Zo dan ?
Hoe toon ik trouwens aan dat:
"Het aantal oplossingen van een niet-homogeen stelsel is ofwel nul, ofwel één, ofwel oneindig."
Als X en Xp oplossingen zijn, dan is hun verschil gelijk aan Xh. We weten dus dat:
X - Xp = Xh
Wanneer we dit invullen in (1) bekomen we:
X = Xh + Xp
Waardoor het bovenstaande bewezen is.
Zo dan ?
Hoe toon ik trouwens aan dat:
"Het aantal oplossingen van een niet-homogeen stelsel is ofwel nul, ofwel één, ofwel oneindig."
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs i.v.m. homogene stelsels
Zoiets, ja. Vermits X te schrijven is als X-Xp+Xp en X-Xp oplossing is van het geassocieerde homogene stelsel (eerder bewezen)...
Het geassocieerde homogene stelsel AX = 0 van een stelsel AX = B heeft één (de nuloplossing) of oneindig veel oplossingen (eerder bewezen). Als AX = B minstens één oplossing heeft, noem deze Xp, dan volgt uit voorgaande stellingen dat ... en zo heb je ook de gevallen één en oneindig veel oplossingen. Maar als AX = B strijdig is, is er niet eens zo'n Xp...Biesmansss schreef: ↑wo 23 mei 2012, 13:41
Hoe toon ik trouwens aan dat:
"Het aantal oplossingen van een niet-homogeen stelsel is ofwel nul, ofwel één, ofwel oneindig."
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs i.v.m. homogene stelsels
Juist, zo moet het lukken.
Dus het geassocieerde homogene stelsel AX = 0 van een stelsel AX = B heeft één (de nul-oplossing) of oneindig veel oplossingen. Als AX = B minstens één oplossing heeft, noem deze Xp, dan volgt uit voorgaande stelling dat de andere oplossingen van de vorm X = Xh + Xp zijn, zo heb je de gevallen één of oneindigveel oplossingen (al naargelang het aantal oplossingen van het geassocieerde homogene stelsel); maar als AX = B strijdig is, is er niet eens zo'n Xp en dus zijn er ook geen andere oplossingen in de vorm van X = Xh + Xp (m.a.w. het stelsel AX = B heeft geen oplossingen).
Dus het geassocieerde homogene stelsel AX = 0 van een stelsel AX = B heeft één (de nul-oplossing) of oneindig veel oplossingen. Als AX = B minstens één oplossing heeft, noem deze Xp, dan volgt uit voorgaande stelling dat de andere oplossingen van de vorm X = Xh + Xp zijn, zo heb je de gevallen één of oneindigveel oplossingen (al naargelang het aantal oplossingen van het geassocieerde homogene stelsel); maar als AX = B strijdig is, is er niet eens zo'n Xp en dus zijn er ook geen andere oplossingen in de vorm van X = Xh + Xp (m.a.w. het stelsel AX = B heeft geen oplossingen).
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
