Inverteerbaarheid diagonaalmatrix

QuarkSV

Hallo

In mijn boek staat er een opgave als volgt: "Zij D een vierkante diagonaalmatrix, wanneer is D inverteerbaar?"

Ik weet dat een matrix inverteerbaar is als je de eenheidsmatrix er kunt naast zetten en via rijoperaties tot aan de rijgereduceerde vorm kunt werken, dan verschijnt op de plaats waar de eenheidsmatrix stond, de inverse matrix. Wanneer je die inverse maal de gewone matrix zou doen, dan moet je de eenheidsmatrix uitkomen...

Ik weet ook dat een diagonaalmatrix eruit ziet als een matrix met op de diagonaal elementen en daarbuiten allemaal nullen. Dus enkel op de hoofddiagonaal staan elementen die al dan niet kunnen verschillen van nul.

Ik weet echter niet hoe ik dit allemaal aan elkaar moet linken om tot een antwoord op de vraag te komen...

Kan iemand me hierbij helpen?

Alvast bedankt

TD

Ken je een verband tussen inverteerbaarheid en de determinant van een matrix?

Kan je de determinant van een diagonaalmatrix eenvoudig bepalen?

QuarkSV

TD schreef: ↑ma 28 mei 2012, 22:56
Ken je een verband tussen inverteerbaarheid en de determinant van een matrix?

Kan je de determinant van een diagonaalmatrix eenvoudig bepalen?

Ik was nog vergeten te vermelden dat er niet met determinanten mag gewerkt worden, mijn excuses.

Is er een mogelijkheid om het niet via determinanten te doen?

TD

Ja hoor. Een nxn-diagonaalmatrix D heeft op de diagonaal elementen \(d_1,d_2,d_3,\ldots,d_n\) en daarbuiten nullen. Als je er de eenheidsmatrix naast zet tot (D|I) en je wil D omzetten naar I via elementaire rijoperaties om te komen tot (I|D^-1), wat moet je dan (voor elke rij) doen? Wanneer kan dat?

Jaimy11

Lijkt mij onnodige moeite, je kunt evt beredeneren dat het product van 2 diagonaalmatrices altijd een inverteerbare matrix... Maar vervolgens zou ik dan alsnog m.b.v determinanten verder kijken.

TD

Jaimy11 schreef: ↑ma 28 mei 2012, 23:31
Lijkt mij onnodige moeite,

Als je het over bovenstaande suggestie hebt, die redenering is vrij kort...

je kunt evt beredeneren dat het product van 2 diagonaalmatrices altijd een inverteerbare matrix...

Dit begrijp ik niet: het product van twee diagonaalmatrices is niet noodzakelijk inverteerbaar hoor...

Maar vervolgens zou ik dan alsnog m.b.v determinanten verder kijken.

Maar dat is blijkbaar expliciet niet de bedoeling van de opgave...

Drieske

Misschien een nog andere manier om te zien wanneer je diagonaalmatrix inverteerbaar is. Je kunt bewijzen (of misschien heb je dat al gedaan?) dat A inverteerbaar is als en slechts als Ax = 0 heeft alleen de triviale oplossing (x = 0). Hier is dat dus zeer eenvoudig.

Het voordeel van TD's manier: je krijgt de inverse er gratis en voor niets bij

.

QuarkSV

TD schreef: ↑ma 28 mei 2012, 23:24
Ja hoor. Een nxn-diagonaalmatrix D heeft op de diagonaal elementen \(d_1,d_2,d_3,\ldots,d_n\) en daarbuiten nullen. Als je er de eenheidsmatrix naast zet tot (D|I) en je wil D omzetten naar I via elementaire rijoperaties om te komen tot (I|D^-1), wat moet je dan (voor elke rij) doen? Wanneer kan dat?

Dan moet je elke rij van D door respectievelijk \(d_1,d_2,d_3,\ldots,d_n\) delen zodat er een 1 komt te staan op de diagonaal. De oorspronkelijke eenheidsmatrix wordt dan op de hoofddiagonaal elke 1 gedeeld door respectievelijk \(d_1,d_2,d_3,\ldots,d_n\). Dit kan alleen als \(d_1,d_2,d_3,\ldots,d_n\) NIET 0 is...

Op de diagonaal van D mag dus nergens een 0 staan, als je een inverteerbare matrix wil.

Klopt dit wat?

TD

Helemaal goed: geen nullen op de diagonaal.

QuarkSV

Bedankt voor de hulp, ik begrijp het

TD

Oké, prima.

Als je determinanten wel al kent, is het wel interessant om dat verband ook in te zien: een matrix is inverteerbaar als en slechts als de determinant verschilt van 0 en de determinant van een diagonaalmatrix is precies het product van de diagonaalelementen, dus... Mooi, toch?

QuarkSV

Inderdaad, ik zie het verband. Beide wegen leiden uiteindelijk tot de eis dat er op diagonaal geen nul(len) mag/mogen staan

TD

Klopt.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Inverteerbaarheid diagonaalmatrix

Inverteerbaarheid diagonaalmatrix

Re: Inverteerbaarheid diagonaalmatrix

Re: Inverteerbaarheid diagonaalmatrix

Re: Inverteerbaarheid diagonaalmatrix

Re: Inverteerbaarheid diagonaalmatrix

Re: Inverteerbaarheid diagonaalmatrix

Re: Inverteerbaarheid diagonaalmatrix

Re: Inverteerbaarheid diagonaalmatrix

Re: Inverteerbaarheid diagonaalmatrix

Re: Inverteerbaarheid diagonaalmatrix

Re: Inverteerbaarheid diagonaalmatrix

Re: Inverteerbaarheid diagonaalmatrix

Re: Inverteerbaarheid diagonaalmatrix