"Zij L: V -> W een lineaire afbeelding tussen vectorruimten (R, V, +) en (R, W, +). Dan zijn Ker L en Im L deelruimten van V resp. W."
Bewijs:
Merk op dat Ker L ≠ ∅ want 0 ∈ Ker L. Het is dus voldoende aan te tonen dat Ker L gesloten is voor het nemen van lineaire combinaties. Neem daarom v1, v2 ∈ Ker L en
A1, A2 ∈ R. Dan is
L(A1.v1 + A2.v2) = A1.L(v1) + A2.L(v2) = A1.0 + A2.0 = 0
en dus is A1.v1 + A2.v2 ∈ Ker L."
Het bewijs op zich snap ik, maar ik heb een paar vraagjes betreffende het 'waarom'.
Om te beginnen met "Ker L ≠ ∅ want 0 ∈ Ker L", waarom is dit zo ?
Laatste berichten
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
09:54
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 6
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] Bewijs i.v.m. Kern en Im
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 1.201
Bewijs i.v.m. Kern en Im
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs i.v.m. Kern en Im
Wel, je moet dus inzien dat voor een lineaire afbeelding steeds geldt dat f(0) = 0. Hier moet je wel even goed opletten tussen het verschil van beide nullen! Ik zal vanaf nu even vectoren in het vet schrijven om het onderscheid tussen getal en vector te onderstrepen. Het te bewijzen wordt: f(0) = 0. Merk op dat f(0) = f(00) = 0f(0) = 0.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs i.v.m. Kern en Im
Ja, dit lukt wel min of meer.
We weten dat f(A.x) = A.f(x)
Hieruit volgt rechtstreeks dat:
f(0.x) = 0.f(x) = 0 = f(0)
Dus daarom kunnen we zeggen dat deze nooit leeg zal zijn ?
Klein extra vraagje ter verduidelijking:
De kern zijn die vectoren in v waarvoor het beeld L(v) nul wordt.
Dus eigenlijk zijn dit, als we het een beetje vergelijken met de oude context, de nulpunten ?
We weten dat f(A.x) = A.f(x)
Hieruit volgt rechtstreeks dat:
f(0.x) = 0.f(x) = 0 = f(0)
Dus daarom kunnen we zeggen dat deze nooit leeg zal zijn ?
Klein extra vraagje ter verduidelijking:
De kern zijn die vectoren in v waarvoor het beeld L(v) nul wordt.
Dus eigenlijk zijn dit, als we het een beetje vergelijken met de oude context, de nulpunten ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs i.v.m. Kern en Im
Je kunt het inderdaad vergelijken met je nulpunten van vroeger. Net als vroeger, vertelt een kern je vrij veel over je (lineaire) afbeelding. Maar probeer toch maar om niet steeds te denken aan nulpunten 
.
.Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs i.v.m. Kern en Im
Ok, dat eerste heb ik begrepen. 
Kan je ook uitleggen waarom het dan volstaat om aan te tonen dat Ker L gesloten is voor het nemen van lineaire combinaties ? Omdat we via deze combinaties dan de andere vectoren kunnen bereiken waarvoor Ker L = 0 ? en zodoende deze ook tot dezelfde deelruimte behoren ?
Kan je ook uitleggen waarom het dan volstaat om aan te tonen dat Ker L gesloten is voor het nemen van lineaire combinaties ? Omdat we via deze combinaties dan de andere vectoren kunnen bereiken waarvoor Ker L = 0 ? en zodoende deze ook tot dezelfde deelruimte behoren ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs i.v.m. Kern en Im
Dat is toch per definitie van deelruimte wat je wilt aantonen? Als v1 en v2 in de kern zit, dan ook een lineaire combinatie van deze 2 vectoren. Waarom je eerst aantoont dat de kern niet leeg is, is gewoon omdat het anders niet veel nut heeft om te praten over: neem de vector in de kern.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs i.v.m. Kern en Im
Aha, ja het begint door te dringen. Maar stel nu dat de functie injectief is, dan is Ker L = {0}. De nulvector van V is dan het enige element in de kern; dit is de onechte deelruimte ? En toch mogen we dit beschouwen als deelruimte afgaand op de definitie hier ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 10.179
Re: Bewijs i.v.m. Kern en Im
Wat bedoel je met "de nulvector van 2"? Als de nulvector het enige is wat in je kern zit, kun je inderdaad geen 2 verschillende vectoren in je kern nemen. Echter vormt dat geen probleem, noch voor het bewijs, noch voor de praktijk. Voor het bewijs wordt er immers nergens geëist dat je 2 verschillende vectoren kunt nemen, alleen dat je er 2, al dan niet dezelfde, neemt. Is maar 1, neem je automatisch tweemaal dezelfde.
Edit: je hebt dus aangepast
. Zie TD's opmerking 
.
Edit: je hebt dus aangepast
. Zie TD's opmerking .Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs i.v.m. Kern en Im
Tussendoor:
Ik heb je hierover in een andere topic ook eens 'verbaasd' gezien, maar de ruimte met enkel de nulvector en de volledige ruimte V (met V een vectorruimte) zijn ook deelruimten van V! Men noemt ze ook wel 'triviale deelruimten' of in jouw geval blijkbaar 'onechte deelruimte'. Echt een goede naam vind ik dat niet, want het is wel 'echt' een deelruimte .
Ik heb je hierover in een andere topic ook eens 'verbaasd' gezien, maar de ruimte met enkel de nulvector en de volledige ruimte V (met V een vectorruimte) zijn ook deelruimten van V! Men noemt ze ook wel 'triviale deelruimten' of in jouw geval blijkbaar 'onechte deelruimte'. Echt een goede naam vind ik dat niet, want het is wel 'echt' een deelruimte
."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs i.v.m. Kern en Im
Dit moest 'V' zijn, heb het even aangepast. Ja maar puur afgaande op de eerdere definitie van deelruimte, daar gaven ze toch aan nul de benaming 'onechte deelruimte'. Maar nu ben ik mij misschien aan het verliezen in details.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs i.v.m. Kern en Im
Biesmansss schreef: ↑vr 01 jun 2012, 09:34
Dit moest 'V' zijn, heb het even aangepast. Ja maar puur afgaande op de eerdere definitie van deelruimte, daar gaven ze toch aan nul de benaming 'onechte deelruimte'. Maar nu ben ik mij misschien aan het verliezen in details.
Misschien ontgaat je het feit dat een 'onechte deelruimte' wél nog steeds een 'deelruimte' is, ondanks de (misschien verwarrende) naam.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs i.v.m. Kern en Im
Aha, dat is inderdaad een beetje waar mijn verbazing op neer komt ja. Ok.TD schreef: ↑vr 01 jun 2012, 09:32
Tussendoor:
Ik heb je hierover in een andere topic ook eens 'verbaasd' gezien, maar de ruimte met enkel de nulvector en de volledige ruimte V (met V een vectorruimte) zijn ook deelruimten van V! Men noemt ze ook wel 'triviale deelruimten' of in jouw geval blijkbaar 'onechte deelruimte'. Echt een goede naam vind ik dat niet, want het is wel 'echt' een deelruimte
Ja, sorry had je bericht pas na mijn reactie gelezen.TD schreef: ↑vr 01 jun 2012, 09:36
Misschien ontgaat je het feit dat een 'onechte deelruimte' wél nog steeds een 'deelruimte' is, ondanks de (misschien verwarrende) naam.
OT: Hoe komt het dat 'Privé' bij je status staat ? Is dit omdat je onzichtbaar staat ? (vraag het me gewoon al een paar dagen af)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs i.v.m. Kern en Im
Oké
.Ah ja, dat is van een paar dagen terug: niet bij stilgestaan dat ik nog steeds onzichtbaar stond. Nu 'zie' je me weerBiesmansss schreef: ↑vr 01 jun 2012, 09:36
OT: Hoe komt het dat 'Privé' bij je status staat ? Is dit omdat je onzichtbaar staat ? (vraag het me gewoon al een paar dagen af)
."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs i.v.m. Kern en Im
Veel beter.TD schreef: ↑vr 01 jun 2012, 09:38
Ah ja, dat is van een paar dagen terug: niet bij stilgestaan dat ik nog steeds onzichtbaar stond. Nu 'zie' je me weer
Bedankt voor de snelle verduidelijking Dries en TD!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 1.201
Re: Bewijs i.v.m. Kern en Im
Nog snel even een extra vraagje:
Ze spreken ook wel over dimensies van deelruimten. De dimensie van een deelruimte is gelijk aan het aantal elementen van de basis. Stel nu dat we de 'onechte deelruimte' hebben, dus de nulvector. Een basis mag toch nooit de nulvector bevatten ? Dus wat is dan de dimensie van een onechte deelruimte ?
Ze spreken ook wel over dimensies van deelruimten. De dimensie van een deelruimte is gelijk aan het aantal elementen van de basis. Stel nu dat we de 'onechte deelruimte' hebben, dus de nulvector. Een basis mag toch nooit de nulvector bevatten ? Dus wat is dan de dimensie van een onechte deelruimte ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
