[wiskunde] Triple integral in spherical coordinates

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 682

Triple integral in spherical coordinates

Goedendag,

De opgave:
opg.jpg
opg.jpg (9.55 KiB) 156 keer bekeken
Ik heb de volgende integraal opgesteld, om de massa van de helft van de bal te berekenen:
\(m_{1/2} = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\int_{0}^{\sqrt{(a^{2}-r^{2})}}Kr^{2}dzdrd\theta\)
Vervolgens krijg ik voor de binnenste integraal:
\(\int_{0}^{\sqrt{(a^{2}-r^{2})}}Kr^{2}dz=Kr^{2}\sqrt{(a^{2}-r^{2})}\)
.

Dan de middelste integraal:
\(\int_{0}^{a}Kr^{2}\sqrt{(a^{2}-r^{2})}dr\)
Hier kom ik echter niet uit.

Iemand een idee?
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Triple integral in spherical coordinates

je integreert niet in bolcoördinaten, maar in cilindercoördinaten. Komt daarbij dat ik de integreren functie niet snap, ik interpreteer dit als een functie
\(K z\)
en dan moet er nog
\(r dr dz d\theta\)
bij.

Ware het niet simpeler om trouwens te integreren in bolcoördinaten?
This is weird as hell. I approve.

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Triple integral in spherical coordinates

"The density at any point is proportional to its distance from the z-axis."

Dus geldt volgens mij:
\(\rho =K\sqrt{x^{2}+y^{2}}=K r\)
Vervolgens komt er inderdaad
\(r dr dz d\theta\)
bij.

Zo ben ik tot de triple integraal gekomen.

De integraal moet in cylindrical coordinates worden uitgewerkt, in tegenstelling tot wat ik in de topic titel heb vermeld.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Triple integral in spherical coordinates

ah, juist, ik had de vraag verkeerd geïnterpreteerd (langs z-as versus van z-as).

Probeer r te substitueren door een sinus (of cosinus), dat kan je dan verder uitwerken met wat goniometrische operaties.
This is weird as hell. I approve.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.594

Re: Triple integral in spherical coordinates

Stel:
\(r=a \cdot \sin \varphi \)

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Triple integral in spherical coordinates

Bedankt voor de antwoorden.

Met dergelijke substituties was ik nog niet bekend. Bij de substituties die ik heb gehad moest je een deel van de integrand substitueren.

Maar bij deze mijn uitwerking:
\(\int_{0}^{a}Kr^{2}\sqrt{a^{2}-r^{2}}dr\)
Toepassen van de substitutie:
\(r=asin\alpha\)
Dan krijg ik:
\(\int_{r=0}^{r=a}Ka^{3}sin^{2}(\alpha) cos(\alpha) \sqrt{a^{2}-a^{2}sin^{2}(\alpha)}d\alpha =\int_{r=0}^{r=a}Ka^{4}sin^{2}(\alpha) cos^{2}(\alpha) d\alpha\)
Ik zie echter nog niet in hoe ik deze integraal moet oplossen.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Triple integral in spherical coordinates

bijvoorbeeld:
\(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha\)
, dan ben je al van één van de twee goniometrische formules af
This is weird as hell. I approve.

Reageer