De differentiaal vergelijking is:
\(m \frac{dv}{dt} = mg - kv^2 \rightarrow \frac{dv}{dt} = g - \frac{k}{m}v^2 = (\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v^2)(\sqrt{g} + \sqrt{\frac{k}{m}}v^2)\)
Scheiding van variabelen geeft:\(\frac{dv}{(\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v^2)(\sqrt{g} + \sqrt{\frac{k}{m}}v^2)} = dt\)
Opdelen in fracties geeft vervolgens:\(\frac{1}{(\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v^2)(\sqrt{g} + \sqrt{\frac{k}{m}}v^2)}} = \frac{A}{\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v^2 + \frac{B}{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{k}{m}}v^2}\)
Dit geeft vervolgens het stelsel vergelijkingen:\(\sqrt{g}(A+B) = 1
\sqrt{\frac{k}{m}} v(A-B) = 0 \rightarrow A = B
\rightarrow A = B = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
Nu hebben we een integraal die we makkelijk kunnen evalueren, de primitieve van deze functie is:\sqrt{\frac{k}{m}} v(A-B) = 0 \rightarrow A = B
\rightarrow A = B = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
\(\frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{kg}} \ln|\frac{g + \sqrt{\frac{kg}{m}}v}{g - \sqrt{\frac{kg}{m}}v}| = t+c\)
Eis is dat v(0) gelijk is aan 0. Als ik vervolgens v als functie van t schrijf krijg ik het volgende:\(v(t) = \sqrt{\frac{m}{kg}} \frac{e^(2\sqrt{\frac{kg}{m}}t) -1}{e^(2\sqrt{\frac{kg}{m}}t) + 1}\)
Maar volgens het antwoord achterin het boek is dit:\(v(t) = \sqrt{\frac{mg}{k}} \frac{e^(2\sqrt{\frac{kg}{m}}t) -1}{e^(2\sqrt{\frac{kg}{m}}t) + 1}\)
Ik heb meerdere malen gezocht naar fouten, maar ik heb niets kunnen vinden. Ergens is er iets fout gegaan, misschien dat een van jullie weet wat ik hier fout heb gedaan.
