hallo,
Ik moet een laurentreeks opstellen voor de volgende functie
Log((1-az)/(1-bz)) rondom z=0
Zonder die log is t geen probleem, maar nu heb ik geen idee.
Ik weet dat log(1+z)=som (-1)^{n+1}/n z^n van n=1 tm oneindig rondom z=0
Iemand een hint hoe ik kan beginnen?
Oja het gaat om een complexe logaritme, dus z en a en b zijn complexe getallen
Laatste berichten
-
22:08
wig 11
-
21:37
speciale rel. theorie 12
-
21:22
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 11
-
20:14
Aardlek-schakelaar 2
-
15:56
Programmeren met vectoren 6
-
14:53
Straatklok loopt 5 minuten voor 12
-
25 apr
Gravity and gravitation 4
-
25 apr
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
25 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
25 apr
Rood laserlicht 3
-
25 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
25 apr
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
laurentreeks logaritme
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: laurentreeks logaritme
Schrijf:
\(\frac{1-az}{1-bz}=\frac{1-bz+bz-az}{1-bz}=...\)
-
- Berichten: 102
Re: laurentreeks logaritme
Dat wordt
\( 1+ \frac{z(b-a)}{1-bz} \)
Dan krijg ik:
\( log(1+z(b-a)) = \sum_{n=1}^{\inf} \frac{(-1)^{n+1}}{n} (b-a)^n z^n \)
Maar ik wil juist\( log(1+\frac{z(b-a)}{1-bz}) \)
...dat zie ik nog niet zo snel..
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: laurentreeks logaritme
Noem dit:
zodat: log(1+w)=...
\( 1+ \frac{z(b-a)}{1-bz}=1+w \)
zodat: log(1+w)=...
-
- Berichten: 102
Re: laurentreeks logaritme
\( log(1+w) = \sum_{n=1}^{\inf} \frac{(-1)^{n+1}}{n} w^n = \sum_{n=1}^{\inf} \frac{(-1)^{n+1}}{n} (\frac{z(b-a)}{1-bz})^n = \frac{1-az}{1-bz} \)
Maar als dit klopt vind ik dat heel vreemd.. dan zou je zomaar dingen kunnen substitueren toch?
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: laurentreeks logaritme
Er is hier wel een voorwaarde ...Vogeltjes schreef: ↑zo 03 jun 2012, 15:15\( \log(1+w) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} w^n \)
Hoe kom je aan het volgende:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{z(b-a)}{1-bz}\right)^n = \frac{1-az}{1-bz} \)
-
- Berichten: 102
Re: laurentreeks logaritme
Wat is die voorwaarde dan? Daar heb ik echt geen idee van..Safe schreef: ↑zo 03 jun 2012, 15:39
Er is hier wel een voorwaarde ...
Hoe kom je aan het volgende:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{z(b-a)}{1-bz}\right)^n = \frac{1-az}{1-bz} \)
't zal vast iets zijn met abs. waarde die kleiner moet zijn dan iets,
net als met 1/(1-z) dat je dat schrijft als de som van z^n, dat dan |z|<1, maar hoe dat met de log zit weet 'k niet
en aan dat laatste kom ik doordat we toch de laurentreeks van
\( \frac{1-az}{1-bz} \)
gingen bepalen, en dat wat voor de =-teken staat, hebben we toch als laurentreeks gekregen ofniet?-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: laurentreeks logaritme
Hoe kan dat nu? |w|<1 en ook w=1.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{z(b-a)}{1-bz}\right)^n = \log\left(\frac{1-az}{1-bz}\right) \)
-
- Berichten: 102
Re: laurentreeks logaritme
Oja, natuurlijk! Sorry, even niet goed opgelet.Safe schreef: ↑zo 03 jun 2012, 17:12
Hoe kan dat nu? |w|<1 en ook w=1.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left(\frac{z(b-a)}{1-bz}\right)^n = \log\left(\frac{1-az}{1-bz}\right) \)
Maar bedankt
Dus dit geldt als
\( |\left(\frac{z(b-a)}{1-bz}\right)| \leq 1 \)
?-
- Berichten: 102
Re: laurentreeks logaritme
En nog even een vraag, want ik blijft dit vreemd vinden.Vogeltjes schreef: ↑zo 03 jun 2012, 17:21
Oja, natuurlijk! Sorry, even niet goed opgelet.
Maar bedankt
Dus dit geldt als\( |\left(\frac{z(b-a)}{1-bz}\right)| \leq 1 \)?
Ik krijg nu het idee dat als ik heb dat ik de laurentreeks van Log(f(z)) moet vinden, dat ik dan kan zeggen: f(z)=1+(f(z)-1) en dus:
log(f(z)) =
\( \sum_{n=1}^{\inf} \frac{(-1)^{n+1}}{n}(f(z)-1)^n \)
zolang er geldt |f(z)-1| <1 ..?Dat klinkt nogal gek namelijk, want vaak moet je om een laurentreeks te vinden een functie heel erg aanpassen zodat je hem in de juiste vorm krijgt waarvoor je een machtreeks kent
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: laurentreeks logaritme
Dit is niet goed!
\( \left|\frac{z(b-a)}{1-bz}\right| < 1 \)
?En
\(\frac{z(b-a)}{1-bz}= 1 \)
?Wat is het verschil?
-
- Berichten: 102
Re: laurentreeks logaritme
Oja, het mag dan geen -1 zijnSafe schreef: ↑zo 03 jun 2012, 20:11
Dit is niet goed!
\( \left|\frac{z(b-a)}{1-bz}\right| < 1 \)?
En\(\frac{z(b-a)}{1-bz}= 1 \)?
Wat is het verschil?
Kan je misschien ook nog uitleggen hoe dat precies zit met wat ik hierboven vroeg, met die f(z)?
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: laurentreeks logaritme
Daar heb ik geen commentaar op, want dat klopt.Kan je misschien ook nog uitleggen hoe dat precies zit met wat ik hierboven vroeg, met die f(z)?
Heb je gehoord van het begrip convergentie cirkel?Oja, het mag dan geen -1 zijn
-
- Berichten: 102
Re: laurentreeks logaritme
Ok, en ehm, 'convergentiecirkel' ken ik niet precies zo, ik weet wel dat je reeks conv. in een bepaald gebied (een cirkel), is dat hetzelfde? En dat je dan altijd moet controleren hoe het op de rand zitSafe schreef: ↑ma 04 jun 2012, 11:58
Daar heb ik geen commentaar op, want dat klopt.
Heb je gehoord van het begrip convergentie cirkel?
-
- Berichten: 102
Re: laurentreeks logaritme
Is het trouwens ook mogelijk om het nog om te schrijven naar iets met
nu zit er nog namelijk
(daardoor kwam denk ik ook die verwarring met die f(z))
\( z^n \)
?nu zit er nog namelijk
\( (1-bz)^{-n}\)
in de som..(daardoor kwam denk ik ook die verwarring met die f(z))
