Differentiaalvergelijking

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 08-06-'12, 14:27

RobinL

Gebruikersavatar
Berichten: 17

Differentiaalvergelijking

Beste leden,

als examenvraag rekenkundige technieken moest ik een differentiaalvergelijking oplosen, deze heb ik aangepakt volgens de gebruikelijke methode:

1) Pas Laplace toe op beide delen;

2) Pas de eigenschappen van Laplace toe;

3) Zoek F(p) eruit;

4) Neem de inverse Laplace hiervan;

5) Controle;

Op de afbeelding hieronder heb ik tot stap 3 al gedaan (F(p) eruit gehaald).

Nu met deze F(p), weet ik niet wat verder te doen.. Ik heb de functie al herschreven, eens met partiële geprobeerd.. Maar de controle komt niet uit..

Wat is jullie opinie?

Mvg,

RobinL

2* f'(t) + 2 f(t) = 2t [f(0) = 1]

Afbeelding
Omhoog

Bericht 08-06-'12, 16:12

Axioma91

Berichten: 264

Re: Differentiaalvergelijking

Bedoel je 2f'(t) + 2f(t) = 2t*u(t), u(t) de stapfunctie?

<=> sF(s) - f(0) + F(s) = 1/s^2

<=> F(s)(s+1) = 1/s^2 + f(0)

<=> F(s) = 1/[s^2(s+1)]+ f(0)/(s+1)

Dit is iets anders dan wat jij hebt - zou je je uitwerking kunnen geven?
Omhoog

Bericht 08-06-'12, 17:16

RobinL

Gebruikersavatar
Berichten: 17

Re: Differentiaalvergelijking

Randvoorwaarde is dat f(0) = 1

Uitwerking :

Afbeelding
Omhoog

Bericht 08-06-'12, 17:24

RobinL

Gebruikersavatar
Berichten: 17

Re: Differentiaalvergelijking

Ik zie niet waar ik fout zit, maar ik kom een extra 2 in de noemer uit die ik daarstraks niet had...

Hier is dan volgens mij de uitwerking:

Afbeelding

Klopt dit?
Omhoog

Bericht 08-06-'12, 17:25

Axioma91

Berichten: 264

Re: Differentiaalvergelijking

L{2g(t)} = 2 L{g(t)} , de 2 moet in de teller staan dus op de derde regel. De tweeen vallen dus weg... Verder kan je dat dus schrijven zoals ik dat heb geschreven. De eerste term kan je breuksplitsen, De tweede is eenvoudig uit tabel te vissen..

dus:

F(s) = 1/[s^2(s+1)]+1/(s+1)

Volgende stap: Breuksplitsen van 1/[s^2(s+1)]

-----

Dat wegstrepen van die p^2 in je nieuwe uitwerking zie ik niet... Je kan de teller en de noemer door p^2 delen, maar dan moet je 1 dus ook door p^2 delen, daar schiet je weinig mee op. Zie je hoe ik aan de uitdrukking hierboven kom?
Omhoog

Bericht 08-06-'12, 17:31

RobinL

Gebruikersavatar
Berichten: 17

Re: Differentiaalvergelijking

Dus men F(p) klopt, maar de omzetting naar tijds domein niet?
Omhoog

Bericht 08-06-'12, 17:33

Axioma91

Berichten: 264

Re: Differentiaalvergelijking

Nee, je F(p) klopt op een factor 4 na, je gebruikt een rekenregel verkeerd (zie vorige post eerste stukje)
Omhoog

Bericht 08-06-'12, 17:37

RobinL

Gebruikersavatar
Berichten: 17

Re: Differentiaalvergelijking

Neen ik zie het niet..
Omhoog

Bericht 08-06-'12, 17:39

Axioma91

Berichten: 264

Re: Differentiaalvergelijking

Ik zal het wat duidelijker/leesbaarder noteren:
\(
2f'(t) + 2f(t) = 2t*u(t)
\)
Overal staat een 2 voor, dus we kunnen beide kanten door twee delen, dan krijg je:

<=>
\(sF(s) - f(0) + F(s) = \frac{1}{s^2}\)
<=>
\(F(s)(s+1) = \frac{1}{s^2} + f(0)\)
<=>
\(F(s)= \frac{1}{s^2(s+1)} + \frac{1}{s+1}\)
Of anders;

De fout is dat je zegt
\(\mathcal{L}[2t] = \frac{1}{2} \mathcal{L}[t]\)
Zie je dat het moet zijn:
\(\mathcal{L}[2t] = 2\mathcal{L}[t]\)
Omhoog

Bericht 08-06-'12, 18:08

RobinL

Gebruikersavatar
Berichten: 17

Re: Differentiaalvergelijking

Afbeelding

Wat doe je nu met de 1 / [ p² ( p+1 ) ] ?

De 1 / (p+1) die kun je natuurlijk uit het formularium halen..
Omhoog

Bericht 08-06-'12, 18:26

Axioma91

Berichten: 264

Re: Differentiaalvergelijking

Dit is juist ja.

"De 1 / (p+1) die kun je natuurlijk uit het formularium halen.. "

Als je hiermee breuksplitsen bedoelt, dan ja.

Voor het correcte antwoord:

http://www.wolframal...+%28p%2B1%29%5D bij partial fraction expansion.

Deze termen kan je dan weer terugtransformeren naar het tijdsdomein
Omhoog

Bericht 08-06-'12, 18:33

RobinL

Gebruikersavatar
Berichten: 17

Re: Differentiaalvergelijking

Dit zou het dan moeten zijn:

Afbeelding

En bedankt voor de link! Zéér handig !
Omhoog

Bericht 08-06-'12, 18:40

Axioma91

Berichten: 264

Re: Differentiaalvergelijking

Geen dank en dat ziet er goed uit ja. (Even invullen en checken - maak daar een gewoonte van als dat het nog niet is)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”