Ik heb hier een mogelijke examenvraag waar ik niet uit kom.
Ik heb een K x K matrix S. De matrix elementen kunnen complex zijn.
Er is gegeven dat de modulus van de diagonaal elementen gelijk is aan 1.
\(|S_{ii}| = 1\)
Verder geldt dat de modulus van de andere elementen is strikt kleiner dan 1. \(0\leq |S_{ii}| < 1\)
Ten slotte weet ik ook nog dat de matrix hermitisch is. Dus \(S^\dagger = S\)
.Ik weet meteen dat de eigenwaarden reeël zijn want S is hermitisch. Het is dus mogelijk over positief en negatief te spreken.
Ik heb geprobeerd om het aan te tonen door een generische eigenvector
\(\mathbf{a} = \left(a_1\,\ldots\, a_K\right)\)
te gebruiken. Maar hier kwam niets uit.Ook heb ik gedacht om aan te tonen dat de matrix positief definiet is maar ik weet niet of dat wel de aangewezen methode is omdat er in principe geen nullen in de matrix hoeven te staan.
Toen heb ik het even op IRC gevraagd in een wiskunde kanaal. Maar daar gaven ze me deze stelling: Gershgorin Circle Theorem.
Het lijkt me gek dat we deze zouden moeten gebruiken. We hebben de stelling nooit gezien, zelfs nooit van gehoord.
Kent er iemand een andere methode om dit aan te tonen?
Alvast bedankt voor het meedenken
Joris
Edit: Het kan wel werken met die stelling denk ik hoewel dat niet echt triviaal lijkt te zijn. Als ik bvb de middelpunten van de beschreven cirkels kies als zijnde de diagonaal elementen, dan moet ik nog bewijzen dat de som van de modulus van de overige getallen kleiner dan of gelijk aan 1 is.
