functie ruimte

De leek

Beste mensen,

Ik heb nog steeds niet helemaal goed door wat een functie ruimte nou precies is en in welke zin je het kan zien als een 'ruimte'. Ik heb er wel een vermoeden over maar ik weet niet of die klopt.

Stel dat we praten over de ruimte van alle polynomen van graad 3 of kleiner, dus ax^3 + bx^2 + cx + d, klopt het dan dat je dit als een 4D ruimte kan zien waarin alle punten een functie voorstellen?

Bv het punt met coordinaten: (1,3,5,9) correspondeert met de functie x^3 + 3x^2 + 5x + 9?

Is dat hoe je het mag zien? Of kun je er niet zomaar vanuit gaan dat een dergelijke basis({x^3,x^2,x,1) ook orthonomaal is?

Alvast bedankt.

Jaimy11

De leek schreef: ↑do 05 jul 2012, 18:52
Stel dat we praten over de ruimte van alle polynomen van graad 3 of kleiner, dus ax^3 + bx^2 + cx + d, klopt het dan dat je dit als een 4D ruimte kan zien waarin alle punten een functie voorstellen?

Bv het punt met coordinaten: (1,3,5,9) correspondeert met de functie x^3 + 3x^2 + 5x + 9?

Dat klopt zeer zeker niet!

Je hebt namelijk een formule

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

.

Hoe wil je dan het punt (1,3,5,9) invullen?

Let goed op dat je weet wat je kan invullen (in dit geval alleen een waarde voor x: f(1)=a+b+c+d)

Dit is 2D omdat er maar 2 varierende waarden zijn, namelijk y en x, want:

\(y=ax^3+bx^2+cx+d\)

\(f(x,y,z,a)=4x^2+6yz+2a\)

mag je dus wel zien als een 4D object, want er zijn 4 verschillende variabelen.

De leek

Wacht eens even, jij hebt het nu toch gewoon over een cartesische voorstelling van een formule? Als ik jou logica volg dan zijn alle polynomen weer te geven in een 2 dimensionale ruimte en dan hebben we het eigenlijk gewoon over de grafiek van een functie met 1 variabele. Dat is toch gewoon de grafiek van een specifieke functie en geen ruimte waarin elk punt een functie voorstelt?

Volgens mijn lineaire algebra boek is de ruimte met van alle polynomen oneindig dimensionaal. Dat komt doordat x^m geen lineaire combinatie kan zijn van x^n als m en n ongelijk zijn, je hebt dan oneindig veel ''vectoren'' nodig om die ruimte op te spannen. Als ik dat volg dan kom ik uit op de conclusie die ik net trok maar ik heb geen idee of dat een goede interpretatie is en nergens op het internet wordt naar mijn smaak echt duidelijk gemaakt of je een functie ruimte op die manier kan zien.

Bartjes

@ De leek. Met welk boek werk je?

Drieske

Ivm oneindigdimensionaliteit van functieruimten kun je eventueel ook eens dit topic doornemen. Je boek heeft dus wel gelijk...

De leek

Als ik dat linkje over kwantummechanica bekijk wordt het al duidelijker, ik heb er nooit op die manier naar gekeken. Ik dacht dat een functie ruimte een ruimte was met een bepaalde verzameling functies waarbij lineair onafhankelijke componenten een basis vormden en punten(of vectoren) simpelweg op die manier als functies gezien konden worden.

Als ik het goed begrijp is dus elke functie ruimte oneindig dimensionaal, ook al zijn er maar een eindig aantal functies binnen die ruimte lineair onafhankelijk? Even een voorbeeld:

De functie f(x) = x gedefinieerd op interval [0,1] kan gezien worden als een oneindig dimensionale vector met als componenten alle reële getallen tussen 0 en 1? Dan vraag ik me toch af wat dan het verschil is tussen f(x) = x en f(x) = x^2 beide gedefinieerd op het interval [0,1]. Het zijn beide vectoren met oneindig veel componenten waarbij alle componenten tussen 0 en 1 liggen of gelijk zijn aan 0 en 1(Het 'eerste' en 'laatste' component).

En op de een of andere manier kun je de lengte van een dergelijke vector zien als het oppervlak onder een dergelijke grafiek gedefinieerd op een specifiek interval?

Zie ik dit goed of mis ik ergens nog iets?

TD

De leek schreef: ↑do 05 jul 2012, 18:52
Bv het punt met coordinaten: (1,3,5,9) correspondeert met de functie x^3 + 3x^2 + 5x + 9?

Is dat hoe je het mag zien?

Ja hoor, zo kan je dat zien. De ruimte van (reële) veeltermen tot orde 3 heeft (als vectorruimte over R beschouwd) dimensie 4, een basis bestaat dus uit 4 basisvectoren. De standaardbasis gaf je zelf al en ten opzichte van die basis kan elke veelterm voorgesteld worden aan de hand van 4 getallen, de coördinaten ten opzichte van die basis. Op die manier is er een één-één-relatie tussen viertallen (a,b,c,d) van R⁴ en de veeltermen ax³+bx²+cx+d; je noemt (a,b,c,d), eventueel als kolom genoteerd, de coördinaatvoorstelling van de veelterm ax³+bx²+cx+d.

Drieske

Zoals TD reeds, half, zegt, heb je 2 manieren om ernaar te kijken. Ik denk, nu, eerlijk gezegd dat ik iets te rap terugdacht aan het eerdere topic. Daar gaat het over "een functie zien als een oneindige vector" terwijl er in jouw boek waarschijnlijk eerder bedoeld wordt om op de kar van TD te springen

. Sorry voor die eventuele verwarring.

Overigens is je vraag ivm het verschil tussen f(x) = x en f(x) = x² niet zo eenvoudig (en vraagt al wat begrip van die oneindigdimensionaliteit), maar wel interessant. Maar met uitleg daarover ga ik nog even wachten om te weten of je ze überhaupt wilt horen, daar het toch wat afwijkt

.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

functie ruimte

functie ruimte

Re: functie ruimte

Re: functie ruimte

Re: functie ruimte

Re: functie ruimte

Re: functie ruimte

Re: functie ruimte

Re: functie ruimte