Homomorfie rationale getallen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 341

Homomorfie rationale getallen

De vraag is of er een homomorfisme bestaat tussen
\((\mathbb{Q^+}, \cdot)\)
en
\((\mathbb{Q}, +)\)
. Ik denk dat er zo'n functie is, omdat de twee structuren redelijk op elkaar lijken, met name hebben ze allebei altijd een inverse voor elk element.Toen ik ging zoeken naar geschikte functie kwam ik op de eis dat
\(f(p)=-f(p^{-1}), \forall p \in \mathbb{Q^+}.\)
Dit bracht me op de functie
\(f(p)=p-\frac{1}{p}\)
. Ik dacht dat dit een bijectie was, maar toen merkte ik al dat
\(\exists p,q \in \mathbb{Q^+}: f(pq) \neq f(p) + f(q)\)
. Ik moet dus waarschijnlijk een andere functie hebben om door te gaan. Wie weet hoe ik verder moet?

Gebruikersavatar
Berichten: 341

Re: Homomorfie rationale getallen

Correctie: het homomorfisme moet tevens een isomorfisme zijn. Excuses, ik haalde mijn termen door de war. Ik had dus al wel een bijectie gevonden (dat dacht ik althans) maar deze bleek niet homomorf te zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Homomorfie rationale getallen

Zo'n isomorfisme zal niet bestaan... Waarom? Stel van wel, dan bestaat er een x zodat:
\(2 = f(x)\)
en dus ... Kun je verdergaan?

Hint:
Verborgen inhoud
Gebruik de irrationaliteit van
\(\sqrt{2}\)
.

Opmerking moderator

Verplaatst naar Algebra.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 7.068

Re: Homomorfie rationale getallen

Zo'n isomorfisme zal niet bestaan...
\(\log\)
?

edit: oh wacht, er staat Q (niet R).

Berichten: 7.068

Re: Homomorfie rationale getallen

En nou vraag ik me toch af of dat invloed heeft...

Gebruikersavatar
Berichten: 341

Re: Homomorfie rationale getallen

Ik denk dat ik het antwoord gevonden heb. Als er zo'n x bestaat, dan krijgen we dat
\(\sqrt{f(x)}=\sqrt{2}\)
, en ook
\(\sqrt{f(x)}=f(x)^{\frac{1}{2}}=f(\frac{1}{2}x)\)
. Dus geldt dat
\(f(\frac{1}{2}x)=\sqrt{2}\)
. Maar dat is in tegenspraak met de aanname dat het codomein van het isomorfisme
\(\mathbb{Q}^+\)
is.

In m'n eerste bericht nam ik overigens impliciet aan dat
\(\mathbb{Q}^+\)
het domein en
\(\mathbb{Q}\)
het codomein was, maar in het voorgaande is dat omgedraaid.

Het enige wat ik me nog afvraag is of de stap
\(f(x)^\frac{1}{2}=f(\frac{1}{2}x)\)
geldig is. Voor gehele
\(k\)
kan je laten zien dat
\(f(x)^k=f(kx)\)
, maar kan dat ook voor
\(k \not \in \mathbb{Z}\)
?

Over de log-functie: deze valt toch af omdat de functie niet gesloten is onder een rationaal codomein?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Homomorfie rationale getallen

Ik weet niet goed wat je bedoelt in deze. Wat je hier gebruikt, is dit: als er zo'n isomorfisme zou bestaan, dan moet deze sowieso voldoen aan
\(2 = f(x) = f(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}) = f(\frac{x}{2}) f(\frac{x}{2}) = f(\frac{x}{2})^2\)
. Nu gebruik je dat er geen rationaal getal bestaat zodanig dat het kwadraat ervan wortel(2) is. Klaar.

En wat denk je zelf over je extra vraag (of is ze al beantwoordt?)?

@Evilbro: dit overtuigt jou misschien ook meteen dat er geen isomorfisme is?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 341

Re: Homomorfie rationale getallen

Drieske schreef: za 11 aug 2012, 15:41
En wat denk je zelf over je extra vraag (of is ze al beantwoordt?)?
Ja, die is nu beantwoordt, hij blijkt gewoon te volgen uit wat algebra. :)
\(f(x)^p=f(\frac{1}{q}x)^{pq}=f(\frac{p}{q}x)^q \implies f(x)^\frac{p}{q}=f(\frac{p}{q}x)\)
. Dan vraag ik me nog af: hoe wist je dat ze niet isomorf zouden zijn? Had je dit al eens eerder gezien of was er echt een specifieke algebraïsche eigenschap waar je op lette die de ene structuur wel en de andere niet had? Bijvoorbeeld: als aan me gevraagd wordt of
\((\mathbb{Z}, +)\)
en
\((\mathbb{Z},\cdot)\)
isomorf zijn, weet ik dat dit niet zo is, omdat elk geheel getal onder optellen wel een inverse heeft maar onder vermenigvuldigen niet. Net zo let ik op commutativiteit, associativiteit en het bestaan van een identiteitselement (hoewel hier altijd aan voldaan is in de opgaven die ik krijg). Bij ordeningen let ik op totaliteit, dichtheid en het bestaan van eindpunten. Is er nog zo'n eigenschap die in dit geval verraadde dat de structuren niet isomorf zijn?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Homomorfie rationale getallen

Ik wist het net door de hierboven beschreven eigenschap een beetje onder woorden te brengen: in Q,+ geldt inderdaad dat er voor elke y een x bestaat zodat y= x² (= x+x). Maar in Q+, * zie je heel rap dat dit niet klopt (nu is x² = x*x). Dat heb ik uitgebuit. En dat is, volgens mij, ook waar ze verschillen in structuur.

PS: ik had het nog niet eerder gezien ;) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Reageer