Homomorfie rationale getallen
- Berichten: 341
Homomorfie rationale getallen
De vraag is of er een homomorfisme bestaat tussen
\((\mathbb{Q^+}, \cdot)\)
en \((\mathbb{Q}, +)\)
. Ik denk dat er zo'n functie is, omdat de twee structuren redelijk op elkaar lijken, met name hebben ze allebei altijd een inverse voor elk element.Toen ik ging zoeken naar geschikte functie kwam ik op de eis dat \(f(p)=-f(p^{-1}), \forall p \in \mathbb{Q^+}.\)
Dit bracht me op de functie \(f(p)=p-\frac{1}{p}\)
. Ik dacht dat dit een bijectie was, maar toen merkte ik al dat \(\exists p,q \in \mathbb{Q^+}: f(pq) \neq f(p) + f(q)\)
. Ik moet dus waarschijnlijk een andere functie hebben om door te gaan. Wie weet hoe ik verder moet?- Berichten: 341
Re: Homomorfie rationale getallen
Correctie: het homomorfisme moet tevens een isomorfisme zijn. Excuses, ik haalde mijn termen door de war. Ik had dus al wel een bijectie gevonden (dat dacht ik althans) maar deze bleek niet homomorf te zijn.
- Berichten: 10.179
Re: Homomorfie rationale getallen
Zo'n isomorfisme zal niet bestaan... Waarom? Stel van wel, dan bestaat er een x zodat:
Hint:
\(2 = f(x)\)
en dus ... Kun je verdergaan?Hint:
Verborgen inhoud
Opmerking moderator
Verplaatst naar Algebra.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 7.068
Re: Homomorfie rationale getallen
Zo'n isomorfisme zal niet bestaan...
\(\log\)
?edit: oh wacht, er staat Q (niet R).
-
- Berichten: 7.068
Re: Homomorfie rationale getallen
En nou vraag ik me toch af of dat invloed heeft...
- Berichten: 341
Re: Homomorfie rationale getallen
Ik denk dat ik het antwoord gevonden heb. Als er zo'n x bestaat, dan krijgen we dat
In m'n eerste bericht nam ik overigens impliciet aan dat
Het enige wat ik me nog afvraag is of de stap
Over de log-functie: deze valt toch af omdat de functie niet gesloten is onder een rationaal codomein?
\(\sqrt{f(x)}=\sqrt{2}\)
, en ook \(\sqrt{f(x)}=f(x)^{\frac{1}{2}}=f(\frac{1}{2}x)\)
. Dus geldt dat \(f(\frac{1}{2}x)=\sqrt{2}\)
. Maar dat is in tegenspraak met de aanname dat het codomein van het isomorfisme \(\mathbb{Q}^+\)
is.In m'n eerste bericht nam ik overigens impliciet aan dat
\(\mathbb{Q}^+\)
het domein en \(\mathbb{Q}\)
het codomein was, maar in het voorgaande is dat omgedraaid.Het enige wat ik me nog afvraag is of de stap
\(f(x)^\frac{1}{2}=f(\frac{1}{2}x)\)
geldig is. Voor gehele \(k\)
kan je laten zien dat \(f(x)^k=f(kx)\)
, maar kan dat ook voor \(k \not \in \mathbb{Z}\)
?Over de log-functie: deze valt toch af omdat de functie niet gesloten is onder een rationaal codomein?
- Berichten: 10.179
Re: Homomorfie rationale getallen
Ik weet niet goed wat je bedoelt in deze. Wat je hier gebruikt, is dit: als er zo'n isomorfisme zou bestaan, dan moet deze sowieso voldoen aan
En wat denk je zelf over je extra vraag (of is ze al beantwoordt?)?
@Evilbro: dit overtuigt jou misschien ook meteen dat er geen isomorfisme is?
\(2 = f(x) = f(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}) = f(\frac{x}{2}) f(\frac{x}{2}) = f(\frac{x}{2})^2\)
. Nu gebruik je dat er geen rationaal getal bestaat zodanig dat het kwadraat ervan wortel(2) is. Klaar.En wat denk je zelf over je extra vraag (of is ze al beantwoordt?)?
@Evilbro: dit overtuigt jou misschien ook meteen dat er geen isomorfisme is?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 341
Re: Homomorfie rationale getallen
Ja, die is nu beantwoordt, hij blijkt gewoon te volgen uit wat algebra.Drieske schreef: ↑za 11 aug 2012, 15:41
En wat denk je zelf over je extra vraag (of is ze al beantwoordt?)?
\(f(x)^p=f(\frac{1}{q}x)^{pq}=f(\frac{p}{q}x)^q \implies f(x)^\frac{p}{q}=f(\frac{p}{q}x)\)
. Dan vraag ik me nog af: hoe wist je dat ze niet isomorf zouden zijn? Had je dit al eens eerder gezien of was er echt een specifieke algebraïsche eigenschap waar je op lette die de ene structuur wel en de andere niet had? Bijvoorbeeld: als aan me gevraagd wordt of \((\mathbb{Z}, +)\)
en \((\mathbb{Z},\cdot)\)
isomorf zijn, weet ik dat dit niet zo is, omdat elk geheel getal onder optellen wel een inverse heeft maar onder vermenigvuldigen niet. Net zo let ik op commutativiteit, associativiteit en het bestaan van een identiteitselement (hoewel hier altijd aan voldaan is in de opgaven die ik krijg). Bij ordeningen let ik op totaliteit, dichtheid en het bestaan van eindpunten. Is er nog zo'n eigenschap die in dit geval verraadde dat de structuren niet isomorf zijn?- Berichten: 10.179
Re: Homomorfie rationale getallen
Ik wist het net door de hierboven beschreven eigenschap een beetje onder woorden te brengen: in Q,+ geldt inderdaad dat er voor elke y een x bestaat zodat y= x² (= x+x). Maar in Q+, * zie je heel rap dat dit niet klopt (nu is x² = x*x). Dat heb ik uitgebuit. En dat is, volgens mij, ook waar ze verschillen in structuur.
PS: ik had het nog niet eerder gezien .
PS: ik had het nog niet eerder gezien .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.