[wiskunde] Breuk integreren

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 338

Breuk integreren


Find
\( \int \frac{2x+1} {2x-3} dx\)
using u-substitution or long division.
Met de u-substitutie is het gelukt, maar met delen gaat het fout.
\(\frac{2x+1} {2x-3} = 1 + \frac{4} {2x-3}\)
\( \int 1 + \frac{4} {2x-3} dx\)
=
\( \int 1 + 4 * \frac{1} {2x-3} dx\)
Nu wil ik als antwoord noteren
\(x + 4 ln|2x-3| + C\)
, maar dit klopt niet. Waarom moet je in de breuk 4 delen door 2 maar dan uiteindelijk ook (2x-3) noteren tussen de absoluut tekens? Je krijgt toch dan
\( \int 1 + \frac {4} {2} * \frac{1} {x-3} dx\)
en dus
\(x + 2 ln|x-3| + C\)
Ik snap dat niet.

Bij voorbaat dank.

Gebruikersavatar
Berichten: 614

Re: Breuk integreren

Kettingregel....
Pizza Monster schreef: wo 15 aug 2012, 22:48
\( \int 1 + 4 * \frac{1} {2x-3} dx\)

Gebruikersavatar
Berichten: 338

Re: Breuk integreren

Sorry, ik zie dat ik de haakjes ben vergeten. Maakt dat nog wat uit?
\( \int (1 + \frac{4} {2x-3})dx\)
=
\( \int (1 + 4 * \frac{1} {2x-3}) dx\)
Nu wil ik als antwoord noteren
\(x + 4 ln|2x-3| + C\)
, maar dit klopt niet.

Kettingregel? Ik volg dat even niet. Ik ben aan het integreren, niet aan het differentieren.

Bij voorbaat dank.

Gebruikersavatar
Berichten: 11.177

Re: Breuk integreren

Differentieer je gevonden uitkomst es. Ik wed dat je in de knoei komt op het moment dat je (2x - 3) differentieert en je niet weet wat je met de factor 2 aanmoet ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 614

Re: Breuk integreren

Als je je integraal differentieert heb je een kettingregel.

Omgekeerd moet je daar dus rekening met houden.

Als de kettingregel bij differentieren 2 geeft, dan geeft deze bij integeren 1/2 (dit wordt moeilijker als er machten bijkomen kijken, is dus geen algemene regel!)

Gebruikersavatar
Berichten: 338

Re: Breuk integreren

Ok. Als ik even dit pak:
\( \int (4 * \frac{1} {2x-3}) dx\)
u = 2x-3, du=2. du/2 = dx
\( 4\int \frac{dx} {2x-3} \)
=
\( 4 * \frac{1} {2} \int \frac {du} {u} \)
=
\(2 ln |u|+C = 2 ln |2x-3| + C\)
Klopt het zo?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Breuk integreren

Ja, dat is prima.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 338

Re: Breuk integreren

Bedankt. Ik keek een beetje raar op van de "kettingregel" omdat die dus de u-substitution heet in de context van integreren in mijn Engelstalige calculus boek, maar het komt wel op hetzelfde neer, alleen andere benaming dus...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Breuk integreren

De kettingregel is een regel voor het bepalen van afgeleiden (differentiëren); de integratietechniek die hier nauw mee verwant is, is (inderdaad) de substitutiemethode.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer