Differentievergelijking opgave

Moderators: dirkwb, Xilvo

Berichten: 139

Differentievergelijking opgave

Hallo,

ik zit vast bij een examenvraag uit een van de vorige examens.

De opgave luidt als volgt:

Bepaal de tweede orde lineaire differentievergelijkingen met constante coëfficiënten en algemeen rechterlid die zowel (a) als (b) als particuliere oplossing hebben. Bepaal ook de algemene oplossing.
\(y_k= f(k) =2(1/2)^k*(k+1/4)\)
\(y_k = g(k) = (-1/4)^k + k(1/2)^{(k-1)} \)
Ik heb werkelijk geen idee hoe ik hier aan moet beginnen. Kan iemand me helpen?

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Differentievergelijking opgave

Ik geraak hier maar voor een klein stukje uit, maar misschien helpt het je wel wat?

f(k) kan je herschrijven naar

\(
f(k) =(1/2)(1/2)^k + k (1/2)^{(k-1)}
\)
[/color]

dat doet mij denken aan

\(
y(k) = A t_0^k + B k t_0^{(k-1)}
\)
[/color]

met A=1/2 en B=1

en met
\(t_0 = (1/2)\)
de dubbele wortel van de karakteristieke veelterm die met de diff.vgl overeenkomt, nl:

\(
(t - (1/2))^2 = t^2 -t +(1/4)
\)
[/color]

wat dan weer overeenkomt met de diff.vgl

\(
y(k) = y(k-1) - (1/4) y(k-2)
\)
[/color]

wat perfect overeenkomt met de reeks getallen die f(k) geeft bij k = 0 , 1 , 2 , 3 , ...

\( (1/2), (5/4), (9/8), (13/16), (17/32), (21/64), (25/128) \)
[/color]

waar elk getal gelijk is aan het voorgaande min een kwart van het getal daarvoor...

Voor g(k) lukt dit mij niet direct, ik zit wat in de knoei met dat minteken? (klopt de opgave wel?)

Verder komt de oplossing hierboven ook niet overeen met de waarden die g(k) genereert...?

En beiden ( zowel f(k) als g(k) ) zijn toch particuliere oplossingen van 1 differentievgl...

Zoals gezegd, ik kom er maar voor een stukje uit, maar misschien helpt het wat?
---WAF!---

Berichten: 139

Re: Differentievergelijking opgave

Tot hier kom ik zelf:

Ik voeg de 2 vergelijking samen en ik stel er de gedaantes van op:

(1/2)k (Ak+>B) + C(-1/4)k + (1/2)k (Dk+E)

Coefficienten zijn dan A = B = C = D = E = 1, hiervoor moeten we een (willekeurige) vergelijking opstellen waarvoor geldt dan 1 geen enkelvoudige of dubbele wortel is: y" + 2y'+y

Nu zouden we de particuliere oplossingen hier in moeten substitueren denk ik, maar ik zou niet weten hoe juist...

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Differentievergelijking opgave

TheBrain schreef: za 01 sep 2012, 12:13
Ik voeg de 2 vergelijking samen en ik stel er de gedaantes van op:

(1/2)k (Ak+>B) + C(-1/4)k + (1/2)k (Dk+E)


Sorry, maar ik begrijp even niet wat je bedoelt. Kan je even verduidelijken van waar jouw formule komt? Als je 2 vergelijkingen samenvoegt dan je toch een nieuwe vergelijking (linkerlid 1 + linkerlid 2 = rechterlid 1 + rechterlid 2). Wat is jouw vergelijking dan?

En waarom stel je die coefficienten allemaal = 1?
---WAF!---

Berichten: 139

Re: Differentievergelijking opgave

Nog een poging, vergeet wat ik zei.

Ik tel de particuliere oplossingen op en werk ze uit tot volgende vorm: (1/2)k(4k + 0.5) + (-1/4)k

=> gedaante daarvan is yp = (1/2)k(Ak+B) + C (-1/4)k

De coefficienten zijn dus: A = 4, B=0,5 en C = -1/4

Ik reken nu yp(k+1) en yp(k+2) uit door substitutie in yp.

We kiezen nu zelf een vergelijking waarvan de beide wortels niet gelijk zijn aan 4, 0.5 en -1/4.

bv: yk+2 + 2yk+1 + yk

We vullen yp(k+1), yp(k+2) en yp(k) in in de gekozen vergelijking en nemen termen samen.

Dit levert: 0.5kk(9/4A) + 0.5k(3/2A + 9/4B) + (-1/4)k(9/16C) = RL

Nu vullen we de coefficienten hierin en we bekomen het rechterlid.

dat stellen we dan gelijk aan onze gekozen vergelijking.

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Differentievergelijking opgave

Ik kan je werkwijze niet helemaal volgen, kan dus ook niet zeggen of ze volledig goed is, maar kan je wel een goede en volledige -althans zo lijkt het mij- oplossing te geven, die voor een groot gedeelte overeenkomt met jouw werkwijze:

Je begin is goed, als je f(k) en g(k) samentelt dan krijg je een nieuwe particuliere oplossing van de gezochte dv. Dit geeft, na rangschikking:
\(
y(k) =(1/2)(1/2)^k + 4k (1/2)^k + (-1/4)^k
\)
Nu is elke oplossing van een niet-homogene dv de som van de opl. van de geassocieerde homogene dv en 1 willekeurige oplossing van de gegeven dv.

De homogene oplossing is hier inderdaad van de vorm
\(
y(k) =(A)(1/2)^k + (B) k (1/2)^k
\)
met A=1/2 en B=4 voor speciefieke beginwaarden van y(0) en y(1)

(Deze zijn hier, na uitrekening:voor k=0: y(0)=1/2 en voor k=1: y(1)=9/4 )

De vorm van de oplossing geeft aan dat het hier om karakt;vgl met een dubbele wortel, nl 1/2; de karakt.vgl. is dus:
\( (t- (1/2))^2=0 \)
of
\(t^2=t-(1/4) \)
wat overeenkomt met de dv:
\( y(k)=y(k-1)-(1/4) y(k-2) \)
De willekeurige particuliere oplossing is hier dus
\( y_p(k) =(-1/4)^k \)
,

wat aangeeft dat de gevraagde dv een inhomgeen gedeelte van de vorm
\( (C) (-1/4)^k \)
moet hebben, met C onbekende constante, te berekenen als volgt:

Bereken y_p(k-1) en y_p(k-2) (dus hier met constante=1) en vul die in de dv die we hebben gezocht, nl:
\( y(k)=y(k-1)-(1/4) y(k-2) + (C)(-1/4)^k\)
Na uitwerking geeft dit C=9

DUS

de gevraagde dv is
\( y(k)=y(k-1)-(1/4) y(k-2) + (9)(-1/4)^k\)
en de algemene oplossing hiervan is
\(
y(k) =(A)(1/2)^k + (B) k (1/2)^k+(-1/4)^k
\)
met A en B constantes die afhangen van de beginwaarden van y(0) en y(1).

Ik heb een en ander nagerekend en denk dat het zo zou moeten kloppen...
---WAF!---

Berichten: 7.068

Re: Differentievergelijking opgave

Er is een tweede-orde lineaire differentievergelijking met constante coefficienten zodat geldt:
\(f(k+2) + A f(k+1) + B f(k) = C(k)\)
\(g(k+2) + A g(k+1) + B g(k) = C(k)\)
Trek deze twee van elkaar af:
\((f(k+2)-g(k+2)) + A (f(k+1)-g(k+1)) + B (f(k)-g(k)) = 0\)
Definieer nu h(k) = f(k) - g(k):
\(h(k+2) + A h(k+1) + B h(k) = 0\)
Deze h kun je gewoon bepalen (want f en g zijn gegeven) en invullen. Je krijgt dan een vergelijking met een deel dat afhankelijk is van k en een deel wat onafhankelijk is van k. Omdat de vergelijking voor alle k nul moet zijn, moet beide gedeeltes constant zijn. Je kan beredeneren dat de constante gelijk moet zijn aan nul. De twee gedeeltes vormen twee vergelijkingen met twee onbekenden (A en B). Je kunt dit stelsel oplossen voor A en B.

Je hebt nu de vorm van de vergelijking gevonden. Als je f of g invult dan krijg je het rechterdeel.

De algemene vergelijking heb je al gevonden. Dat is immers h.

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Differentievergelijking opgave

@Evilbro
EvilBro schreef: di 04 sep 2012, 14:44
Deze h kun je gewoon bepalen (want f en g zijn gegeven) en invullen.
Tot hier volg ik, ik krijg nl, na vereenvoudiging.:
\(\frac{2A+4B+1}{8}(1/2)^k+\frac{4A-16B-1}{16}(-1/4)^k=0 \)


(De termen met k als factor heffen elkaar mooi op).

Maar wat je daarna schrijft volg ik niet meer.

Graag wat meer uitleg?
---WAF!---

Berichten: 7.068

Re: Differentievergelijking opgave

Ik heb de breuken even binnen de machten gehaald:
\((\frac{1}{2})^{k+3} (1 + 2 A + 4 B) - (-\frac{1}{4})^{k+2} (1 - 4 A + 16 B) = 0\)
dan:
\((\frac{1}{2})^{k+3} (1 + 2 A + 4 B) = (-\frac{1}{4})^{k+2} (1 - 4 A + 16 B)\)
\((\frac{1}{2})^{k+3} (1 + 2 A + 4 B) = (-1)^{k+2} (\frac{1}{4})^{k+2} (1 - 4 A + 16 B) = (-1)^{k+2} (\frac{1}{2})^{2k+4} (1 - 4 A + 16 B)\)
Beide kanten de gemeenschappelijke term wegdelen:
\(1 + 2 A + 4 B = (-1)^{k+2} (\frac{1}{2})^{k+1} (1 - 4 A + 16 B)\)
Links is een constante term. Rechts moet dus ook constant zijn. Dit kan alleen als het volgende geldt:
\(1 - 4 A + 16 B = 0\)

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Differentievergelijking opgave

Ok, ik volg wat je doet. Stelsel oplossen en invullen geeft -als ik je goed begrijp-
\(
h(k+2) - (1/4) h(k+1) - (1/8) h(k) = 0
\)
Maar hierin mis ik wel ergens een k in één van de termen. Daarenboven is er geen niet-homogene term meer, want je stelde toch h(k) = f(k) - g(k) , en daardoor viel de niet-homogene term weg in h, toch? En je hebt toch een niet-homgeen gedeelte nodig om aan de oplossingen te komen zoals de TS ze opgaf? Of heb ik je fout begrepen?
---WAF!---

Berichten: 7.068

Re: Differentievergelijking opgave

Je hebt nu de linkerkant van de vergelijking gevonden. Je kan nu de rechterkant vinden door f of g in te vullen in plaats van h.

Berichten: 139

Re: Differentievergelijking opgave

EvilBro schreef: vr 07 sep 2012, 07:48
Je hebt nu de linkerkant van de vergelijking gevonden. Je kan nu de rechterkant vinden door f of g in te vullen in plaats van h.
Heel erg bedankt voor jullie antwoorden EvilBro en Westy.

Ik heb even f ingevuld in plaats van h en dan kom ik als einduitkomst uit dat :

h(k+2) - (1/4) h(k+1) - (1/8) h(k) = 3/4 (1/2)k

Klopt dit?

Berichten: 7.068

Re: Differentievergelijking opgave

Dat klopt. Al zou ik het als volgt opschrijven:
\(3 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{(k+2)}\)

Berichten: 139

Re: Differentievergelijking opgave

Dat klopt. Al zou ik het als volgt opschrijven:
\(3 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{(k+2)}\)


Dank u zeer wel voor al de moeite!

Berichten: 139

Re: Differentievergelijking opgave

Ik ben aan een gelijkaardige oefening geraakt, en heb deze op dezelfde methode opgelost.

De opgave is hetzelfde, behalve de particuliere oplossingen.

\(y_k = f(k) = 2 + k2^k
\)
[/color]

\(
y_k = g(k) = (2+k)2^k\)
[/color]

Als eindoplossing vind ik hier:
\(h(k+2) - 3h(k+1) + 2h(k) = 2.2^k\)
Kan er iemand dit bevestigen? Als het eenvoudiger zou zijn, kan ik ook direct mijn uitgeschreven versie uploaden. Ik hoor het wel.

Alvast bedankt!

Reageer