Ik kan je werkwijze niet helemaal volgen, kan dus ook niet zeggen of ze volledig goed is, maar kan je wel een goede en volledige -althans zo lijkt het mij- oplossing te geven, die voor een groot gedeelte overeenkomt met jouw werkwijze:
Je begin is goed, als je f(k) en g(k) samentelt dan krijg je een nieuwe particuliere oplossing van de gezochte dv. Dit geeft, na rangschikking:
\(
y(k) =(1/2)(1/2)^k + 4k (1/2)^k + (-1/4)^k
\)
Nu is elke oplossing van een niet-homogene dv de som van de opl. van de geassocieerde homogene dv en 1 willekeurige oplossing van de gegeven dv.
De homogene oplossing is hier inderdaad van de vorm
\(
y(k) =(A)(1/2)^k + (B) k (1/2)^k
\)
met A=1/2 en B=4 voor speciefieke beginwaarden van y(0) en y(1)
(Deze zijn hier, na uitrekening:voor k=0: y(0)=1/2 en voor k=1: y(1)=9/4 )
De vorm van de oplossing geeft aan dat het hier om karakt;vgl met een dubbele wortel, nl 1/2; de karakt.vgl. is dus:
\( (t- (1/2))^2=0 \)
of
\(t^2=t-(1/4) \)
wat overeenkomt met de dv:
\( y(k)=y(k-1)-(1/4) y(k-2) \)
De willekeurige particuliere oplossing is hier dus
\( y_p(k) =(-1/4)^k \)
,
wat aangeeft dat de gevraagde dv een inhomgeen gedeelte van de vorm
\( (C) (-1/4)^k \)
moet hebben, met C onbekende constante, te berekenen als volgt:
Bereken y_p(k-1) en y_p(k-2) (dus hier met constante=1) en vul die in de dv die we hebben gezocht, nl:
\( y(k)=y(k-1)-(1/4) y(k-2) + (C)(-1/4)^k\)
Na uitwerking geeft dit C=9
DUS
de gevraagde dv is
\( y(k)=y(k-1)-(1/4) y(k-2) + (9)(-1/4)^k\)
en de algemene oplossing hiervan is
\(
y(k) =(A)(1/2)^k + (B) k (1/2)^k+(-1/4)^k
\)
met A en B constantes die afhangen van de beginwaarden van y(0) en y(1).
Ik heb een en ander nagerekend en denk dat het zo zou moeten kloppen...