Wie kan me nog even helpen bij het diagonaliseren van een matrix. Ik denk dat het als volgt moet eerst bepaal je de karakteristieke veelterm waarvan je dan de wortels bepaald en de bijbehorende eigenvectoren. wat doe je daar dan me ? vormen gewoon deze vectoren een nieuwe basis? en bepaal je da afbeelding tov deze nieuwe basis dan gewoon door de eigen waarden in een matrix te zetten? is het zo als in het voorbeeld alhoewel ik niet snap waar die functie helemaal rechts onder vandaan komt.
Je eigenwaarden zijn correct en de bijbehorende eigenvectoren ook, die vormen nu inderdaad een basis ten opzicht waarvan de matrix diagonaal wordt. Je schrijft de eigenvectoren in de kolommen van een matrix, noem deze P. Bepaal hiervan dan ook de inverse matrix, P-1. Dan geldt: A = PDP-1
Hierin is A de oorspronkelijke matrix en D de diagonaalmatrix met de eigenwaarden als elementen op de hoofddiagonaal, in dezelfde volgorde als de eigenvectoren in de kolommen van P.
De onderlijnde matrix is de diagonaalmatrix (te herkennen aan de eigenwaarden op de diagonaal) en het tweede onderlijnde deel is nogal onduidelijk. Is het f van die vector die 1x de vector zelf geeft? (dus het is een eigenvector van die f).
Moet ik dan gewoon de wortels van de karakteriestieke veelterm bepalen en deze p de diagonalen zetten van mijn matrix en zo heb ik dan onmiddelijk de diagonaal matrix nadien kan ik met deze eigenwaarden de eigenvectoren bepalen
Dit gaat natuurlijk alleen als het mogelijk is te diagonaliseren.
Maar mijn groote probleem is vooral dat ik niet goed weet wat aanvangen met die eigen waarden mag ik die gewoon op de diagonaal zetten of moet ik die eerst nog vermenigvuldigen met basis vectoren of zoiets eerst nog door een functie duwen of iets dergelijks?
De uiteindelijke diagonaalmatrix D bestaat inderdaad louter uit de eigenwaarden, dus die kan je zoals je zelf zegt (in het diagonaliseerbaar geval) direct opstellen van zodra je de eigenwaarden hebt.
Maar dat is niet wat we willen bij de diagonalizatie. De vorm waarin we het nu kunnen schrijven is namelijk net interessant. Om te beginnen is P opgebouwd uit de eigenvectoren (en de inverse van P kan je dan bepalen). Het oplossen van stelsels wordt in deze vorm bijvoorbeeld makkelijker, vooral voor grotere ordes.
Een handige eigenschap van het ontbinden volgens A = PDP-1 is dat het ook erg eenvoudig wordt om hogere machten van A te berekenen. Immers, nu geldt dat An = PDnP-1 en de macht van een diagonaalmatrix is zeer eenvoudig (elk diagonaal element tot de n-de macht). In het geval van A = MD zou dit niet meer het geval zijn.
Normaalgezien is het uitrekenen van een macht van een matrix geen leuke bezigheid, voor een n-de macht moet je immers n keer een matrixvermenigvuldiging uitvoeren (leuk is anders...)
Stel nu dat je die matrix A kan schrijven als PDP-1 waarin D diagonaal is. Om dan An te bepalen moeten we inderdaad het hele rechterlid van daarnet tot de n-de macht doen, dus: (PDP-1)n.
Maar als we dat uitschrijven zie je dat er steeds "P-1P" komt te staan, en dat is samen de eenheidsmatrix en valt dus weg:
PDP-1 PDP-1 PDP-1 ... PDP-1(n keer).
We vinden dus: PDnP-1
Een diagonaalmatrix tot een macht is gewoon elk element op de hoofddiagonaal tot die macht, daar is dus geen rekenwerk aan. Het probleem herleid zich dan tot twee keer een matrixvermenigvuldiging ipv n.
