Zij R, S, T verzamelingen. Bewijs dat:
\(R \times (S \cup T) = (R \times S) \cup (R \times T)\)
Mijn vraag is nu of mijn manier van bewijzen correct is.---
Ik wil aantonen dat
\(R \times (S \cup T) \leftrightarrow (R \times S) \cup (R \times T)\)
, dus dat beide uitspraken equivalent zijn, en je dus kunt zeggen dat ze gelijk zijn.Dat doe ik in twee stappen:
1. '
\(\rightarrow\)
':Zij
\((a,b) \in R \times (S \cup T)\)
, dat geldt dat \(a \in R\)
en (\(b \in S\)
of \(b \in T\)
).Dan heb je drie gevallen (b in S en b niet in T. b in S en T. b niet in S en b in T). Ik zal alleen het eerste geval doen.
Dan
\((a,b) \in R \times S\)
en \((a,b) \notin R \times T\)
. Uit alle drie de gevallen volgt dan dat \((a,b) \in (R \times S) \cup (R \times T)\)
.Dus
\(\rightarrow\)
geldt.2. '
\(\leftarrow\)
':Gaat op eenzelfde manier en geldt uiteindelijk ook.
Dus
\(\leftrightarrow\)
geldt en dat betekent dat \(R \times (S \cup T) = (R \times S) \cup (R \times T)\)
---Is dit de juiste manier om zoiets te bewijzen?
.