Wat ik bedoel met klein / groot maken is het volgende. Veronderstel het model:
\( y_t = c + \phi \cdot{} y_{t-1} + \epsilon_t \)
als ik nu
\( y_{t-1} \)
substitueer, krijg ik :
\( y_t = c + \phi \cdot{} ( c + \phi \cdot{} y_{t-2} + \epsilon_{t-2} ) + \epsilon_t \)
Dit trucje kan ik k - keer herhalen, en dan verkrijg ik :
\( y_t = c \cdot{} ( 1 + \phi + \phi^2 + ... + \phi^k ) + \sum_{i = 0} ^{k} \phi^i \cdot{} \epsilon_{t-i} + \phi^k \cdot y_{t-k}\)
Neem nu de verwachting over beide kanten, dan krijgen we :
\( E[y_t] = E[c \cdot{} ( 1 + \phi + \phi^2 + ... + \phi^k )] + E[\sum_{i = 0} ^{k} \phi^i \cdot{} \epsilon_{t-i}] + E[\phi^k \cdot y_{t-k}] \)
Gegeven dat de verwachting voor elke epsilon gelijk is (=0, je haalt de verwachting door de som), valt deze term gelijk weg, en verkrijgen we:
\( E[y_t] = E[c \cdot{} ( 1 + \phi + \phi^2 + ... + \phi^k )] + E[\phi^k \cdot y_{t-k}] \)
Voor k groot genoeg zien we, dat -een of andere- start term
\( y_{t-k} \)
weg wordt gevaagd doordat
\( \phi^k \to 0 \)
. en dan kunnen we grofwerk zeggen dat: (Als je veronderstelt dat
\( | \phi | < 1 \)
)
\( E[y_t] = E [ \frac{c}{1 - \phi}] \)
.
Dit is wat ik probeerde te zeggen Xenion. Je ziet nu wel dat voor klein gekozen phi waardes het snel gebeurt dat de c - waardes (verder terug in de tijd) weggevaagd worden. En dat voor groter phi's de c - waardes langer ''groot'' blijven terug in de tijd. Dit correspondeert ook met de laatst gevonden uitdrukking. Stem je hier wel mee in? (PS. eerlijk gezegd snapte ik niet precies je commentaar). En het is voor een vak op school..
