Pathlines

Moderator: physicalattraction

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 14

Pathlines

Hallo Allemaal,

Op zich is het vraagstuk niet zo moeilijk. De bedoeling is om vast te stellen wat de vorm van het pad is van twee gegeven snelheidscomponenten.

Deze zijn:
\( u = \frac{- \Gamma}{y} \cos{w t}\)
\( v = \frac{\Gamma}{x} \cos{w t}\)
Ook is gegeven dat in tijdpunt t0 het deeltje door x0 y0 gaat.

Ik weet dat een pathline het pad is dat een deeltje aflegt dus:
\( \frac{dx}{dt} = u \)
\( \frac{dy}{dt} = v \)
Dus door een simpele integratie heb ik het antwoord echter raak ik verward doordat er nog een y in de x component zit en een x in de y component.

Ik kan de
\( \Gamma \sin{w t} \)
elimineren echter dan krijg ik de integratie constanten niet weg:
\( y = \frac{c_1}{2 + \frac{c_2}{x}}\)
Door eerst de integratieconstanten te bepalen met de begin conditie krijg ik ook geen eenvoudig antwoord of zie ik iets verkeerd:
\( x = \frac{\Gamma}{w} [ \frac{\sin{w t_0}}{y_0} - \frac{\sin{w t}}{y} ] + x_0 \)
\( y = \frac{\Gamma}{w} [ \frac{\sin{w t}}{x} - \frac{\sin{w t_0}}{x_0} ] + y_0 \)
Elke tip is welkom!

Met vriendelijke groet,

Dennis

Berichten: 7.068

Re: Pathlines

\(\frac{dy}{dt} = \frac{\Gamma}{x} \cos(\omega t)\)
\(x \frac{dy}{dt} = \Gamma \cos(\omega t)\)
Invullen in:
\(\frac{dx}{dt} = \frac{-\Gamma}{y} \cos(\omega t) = \frac{-1}{y} \Gamma \cos(\omega t) = \frac{-1}{y} x \frac{dy}{dt}\)
dus:
\(\frac{1}{x} \frac{dx}{dt} = - \frac{1}{y} \frac{dy}{dt}\)
\(\int \frac{1}{x} \frac{dx}{dt} dt = - \int \frac{1}{y} \frac{dy}{dt} dt\)
\(\int \frac{1}{x} dx = - \int \frac{1}{y} dy\)
En dan lukt het vast wel...

Gebruikersavatar
Berichten: 14

Re: Pathlines

Bedankt EvilBro,

bij de eerste twee stappen viel het kwartje direct.

Gebruikersavatar
Berichten: 14

Re: Pathlines

Toch nog een vraag over het vervolg: streaklines. Hier heb ik wel een uitkomst over maar ik ben niet helemaal overtuigd van het resultaat. Dit mede weer door het voor mij wat vreemd gegeven snelheidscomponenten.

Deze zijn weer gelijk aan de de bovenste.

Mijn idee was het volgende:
\(
y{dx} = -\Gamma \cos(\omega t) dt
\)
\(
x{dy} = \Gamma \cos(\omega t) dt
\)
\(
\int_{x_0}^x y dx = - \int_{t_0}^t \Gamma \cos(\omega t) dt
\)
\(
\int_{y_0}^y x dy = \int_{t_0}^t \Gamma \cos(\omega t) dt
\)
\(
y(x - x_0) = - \frac{\Gamma}{\omega} ( \sin(\omega t) - \sin(\omega t_0) )
\)
\(
x(y - y_0) = \frac{\Gamma}{\omega} ( \sin(\omega t) - \sin(\omega t_0) )
\)
Door wat te herschikken krijg je de volgende uitrdrukking:
\(
y = \frac{(y_0 x)}{2x - x_0}
\)
Ik ben nog niet helemaal overtuigd of ik dit helemaal juist heb gedaan. Iemand een ja of nee over deze oplossing?

ps. waarom krijg ik die laatste \frac{}{} met geen mogelijkheid goed?

Reageer