Fruitschaal, gefeliciteerd !!
Deze topic is door de gebruikers van Wetenschapsforum genomineerd als
Hopelijk kunnen jullie me helpen met onderstaande vragen.Deze topic is door de gebruikers van Wetenschapsforum genomineerd als
---
(1) Zij
\(\sim\)
een relatie op \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\)
gegeven door:\((x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \Leftrightarrow x_1 + y_2 = x_2 + y_1\)
.[/b]Toon aan dat dit een equivalentierelatie is.
De relatie is een equivalentierelatie als het reflexief, symmetrisch en transitief is.
Reflexief:
\((x_1, y_1) \sim (x_1, y_1) \Leftrightarrow x_1 + y_1 = x_1 + y_1\)
Dit klopt, dus reflexief.Symmetrisch:
\((x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \Rightarrow (x_2, y_2) \sim (x_1, y_1)\)
moet gelden.\((x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \Leftrightarrow x_1 + y_2 = x_2 + y_1\)
\(\Rightarrow x_2 + y_1 = x_1 + y_2\)
\(\Leftrightarrow (x_2, y_2) \sim (x_1, y_1)\)
Dus symmetrisch.Transitief:
\((((x_1, y_1) \sim (x_2, y_2)) \wedge ((x_2, y_2) \sim (x_3, y_3))) \Rightarrow (x_1, y_1) \sim (x_3, y_3)\)
\(((x_1, y_1) \sim (x_2, y_2)) \wedge ((x_2, y_2) \sim (x_3, y_3)) \Rightarrow (x_1 + y_2 = x_2 + y_1 \wedge x_2 + y_3 = x_3 + y_2)\)
\(\Rightarrow x_1 + y_2 = x_2 + y_1 \wedge x_2 = x_3 + y_2 - y_3\)
\(\Rightarrow x_1 + y_2 = x_3 + y_2 - y_3 + y_1\)
\(\Rightarrow x_1 + y_3 = x_3 + y_1\)
\(\Leftrightarrow (x_1, y_1) \sim (x_3, y_3)\)
Dus transitief.Klopt deze manier van aantonen?
(2) Maak een schets van
\(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\)
en geef in die schets de equivalentieklassen van \(\sim\)
aan.[/b]Een schets van
\(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\)
lijkt me een assenstelsel zonder de negatieve assen? De equivalentieklasse van een punt \((x,y)\)
:\([x,y] = \{(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \quad | \quad x + b = a + y\}\)
Hoe geef ik dan de equivalentieklassen aan in de schets?---
Alvast bedankt voor eventuele hulp!
. Soms wat meer woorden gebruiken, zou mogen, maar voor de uitwerking is dat niet essentieel. 