De output van een linear time-invariant strictly causal differential system met initial condition x(0) = 0 wordt gegeven door:
\(y(t)=\int_{0}^{t}G(t-\tau )u(\tau )d\tau\)
Wanneer we de Laplace transform nemen, krijgen we:\(Y(s)=H(s)U(s)\)
met \(H(s)=L(G(t))\)
.Hierin moet de hoofdletter 'L' de Laplace transform voorstellen.
Nu geldt dat:
\(G(t)=Ce^{At}B\)
En dus:\(H(s)=L(G(t))=L(Ce^{At}B)=CL(e^{At})B\)
\(L(e^{At})\)
is convergent alleen wanneer Re{s} > max Re{\(\lambda _{i}\)
}.Waarin
\(\lambda _{i}\)
de eigenwaarden van matrix A zijn.Een voorbeeldje:
Stel:
\(e^{At}=\begin{pmatrix}
e^{2t} & 0\\
0 & e^{3t}
\end{pmatrix}\)
Dan geldt:e^{2t} & 0\\
0 & e^{3t}
\end{pmatrix}\)
\(L({e^{At}})=\begin{pmatrix}
L(e^{2t}) & 0\\
0 & L(e^{3t})
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{1}{s-2} & 0\\
0 & \frac{1}{s-3}
\end{pmatrix}\)
alleen wanneer s > 3.L(e^{2t}) & 0\\
0 & L(e^{3t})
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{1}{s-2} & 0\\
0 & \frac{1}{s-3}
\end{pmatrix}\)
Stel nu dat:
\(C = \begin{pmatrix}
1 & 0
\end{pmatrix}\)
en 1 & 0
\end{pmatrix}\)
\(D = \begin{pmatrix}
1 & 0
\end{pmatrix}^{T}\)
Dan verkrijgen we de volgende transfer matrix (of beter gezegd de transfer function):1 & 0
\end{pmatrix}^{T}\)
\(H(s)=\frac{1}{s-2}\)
De polen van een transfer function zijn de waarden voor s waarvoor H naar oneindig gaat, voor deze TF zou dit s = 2 moeten zijn.H is echter alleen gedefinieerd voor s > 3, in dit geval zouden er dan toch geen polen moeten zijn?
Oftewel, voor het bepalen van de polen, waarom "vergeten" we dan opeens dat het bereik van H (de region of convergence) niet het volledige complexe vlak is (uitgezonderd van een beperkt aantal punten)?
Alvast bedankt.
