[wiskunde] vectorruimte 3

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 758

vectorruimte 3

Veronderstel de volgende twee operaties in
\( R^2 \)
\( x + y = (x_1 +y_1, x_2) \)
\( \alpha x = (\alpha x_1 , \alpha x_2) \)
Is deze
\( R^2 \)
een vectorruimte t.o.v. deze operaties.

antwoord, ik denk nee, want :

Definieer
\( x = (x_1,x_2), y = (y_1, y_2) \)
Volgens proposities geldt:
\( \alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y \)
\( \alpha (x + y) = \alpha (x_1,x_2) + \alpha ( y_1,y_2) \)
Maar, volgens onze operaties geldt:
\( \alpha (x + y) = \alpha (x_1+y_1,x_2) = (\alpha (x_1+y_1), \alpha x_2). \)
Dit is niet gelijk dus is geen vectorruimte. Is dit zo afdoende?

En zou ik ook gebruik kunnen maken van :
\( x + y = y + x \)
als propositie want dan geldt:
\( x + y = (x_1+y_1,x_2) \)
\( y + x = (y_1+x_1,y_2) \)
Deze zijn niet gelijk, dus klaar. Is dit een andere optie?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: vectorruimte 3

Je moet wel volledig uitwerken ;) .
\(\alpha(x_1, x_2) + \alpha(y_1, y_2) = (\alpha x_1, \alpha x_2) + (\alpha y_1, \alpha y_2) = (\alpha x_1 + \alpha y_1, \alpha x_2)\)
.

Let op: ik zeg niet of het wel of geen vectorruimte is. Alleen klopte jouw argument niet. Zoek eens naar inversen voor elk element.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 758

Re: vectorruimte 3

hmm inderdaad, als je doorschrijft verkrijg je dus wel hetzelfde...

en wat ik als 2de had gezegd, gaat dat wel op dan? dus :
\( x + y = y + x \)
\( x + y = (x_1 + y_1, x_2) \)
\( y + x = (y_1 + x_2, y_2) \)
Deze zijn niet per def. aan elkaar gelijk. Is dit ook ok?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: vectorruimte 3

Dat is wel okee ja :) . Je zou, als oefening, eens kunnen nagaan welke axioma's behouden blijven en welke niet.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 758

Re: vectorruimte 3

hmm, dat is inderdaad wel een goede ja. associative met (x+y) + z = x + (y+z0 gaat dan eveneens fout. maar neutraal element zal goed gaan, denk ik. denk dat de meeste eigenlijk wel allemaal goed gaan, behalve die x + y = y + x. zie jij nog slimmigheden?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: vectorruimte 3

Gaat associativiteit fout? Bij het neutraal element, is dat uniek? Is er een inverse voor elk element denk je (als we als neutraal element even (0, 0) nemen)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 758

Re: vectorruimte 3

je bedoelt zoiets als (x+y) - y - x .... is waarwschijnlijk niet 0

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: vectorruimte 3

Nee, ik stel meerdere vragen, dus ik bedoel meerdere zaken. Maar een eerste is: is (0, 0) een neutraal element hier? Eens je dat weet, kun je kijken naar inversen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 758

Re: vectorruimte 3

Neen, want
\( x + y = (x_1 + y_1, x_2 ) \)
dus stel :
\( 0 + y = y \)
(als verwachting volgens de proposities) , maar volgens onze operaties krijg ik:
\( 0 + y = (y_1, 0) \)
gaan we zo de goede kant op? (hopelijk...) :-)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: vectorruimte 3

Inderdaad, dus (0, 0) voldoet niet. Zou een andere kandidaat wél kunnen voldoen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 758

Re: vectorruimte 3

ja,
\( (0,y_2) \)
voel geloof ik nog niet precies welke kant je op wilt nu... :$ (anders had ik nu wel meer antwoord gegeven)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: vectorruimte 3

Maar dan zou je eenheidselement afhangen van je gekozen vector? Dus als ik (1, 1) kies, heb ik een ander eenheidselement dan bij (1, 2). Kan (of mag) dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 758

Re: vectorruimte 3

nee, dat mag inderdaad niet, want dan is deze niet uniek... want ik kies hem '''vrij'' , toch?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: vectorruimte 3

Dan is hij inderdaad niet uniek, laat staan: vast voor alle vectoren. Met andere woorden: is er een neutraal element?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 758

Re: vectorruimte 3

het neutraal element hangt af van je gekozen waardes, en is daardoor niet uniek en dat behoort hij/zij wel te zijn, dus nee. dus het kan ook op deze manier! en met inverse kom je dan ook in de knoei toch

Reageer