[wiskunde] discrete metric ruimte

lucca

Veronderstel een discrete metric ruimte X (dus x=y dan d(x,y) =0) en anders d(x,y = 1) Ik wilde mij afvragen of deze ruimte X completeness afdwingt.

Een set is çompleteness (sorry dat ik de NL vertaling niet zo snel weet, en compleetheid klinkt vreemd), als elke cauchy rij convergeert naar een waarde in X.

maar, cauchy rij is gedefineerd met voor alle epsilon is er een n_e zodanig dat voor alle n,m groter dan deze n_e geldt dat : | xn - xm | < e,

we weten dat d(x,y) = 1 voor alle x niet gelijk aan y, maar dan blijft |xn - xm| ook altijd 1, gegeven dat xn niet gelijk is aan xm. Maar dan voldoet het criterium van cauchy rij niet. dus dan is er ook geen cauchy rij. Maar dat betekent dan weer niet dat het niet completeness is, want deze zegt, alle cauchy rijen convergeren naar waarde in X. We hebben geen cauchy rij, dus er convergeert er ook geen een naar een waarde in X. Toch completeness dan?

JorisL

Ik heb even gezocht. Het was namelijk al even geleden dat ik hier nog mee bezig ben geweest.

Jij probeert te bewijzen dat er geen Cauchy rijen bestaan.

Maar neem een Cauchyrij. Uit de definitie volgt dat

\(\forall \epsilon > 0,\,\exists N\in\mathbb{N} \, ,\forall n,m>N: |x_n - x_m|<\epsilon\)

Maar we hebben een discrete metriek. Dus is de afstand tussen de waardes 0 of 1.

We beschouwen een Cauchy-rij dus moet vanaf een zeker N gelden dat voor al de grotere getallen de rij constant wordt.

Kan je deze redenering volgen? Kun je dan ook verder?

Jij wilt trouwens bewijzen dat een verzameling compleet is.

lucca

ja zo'n rij bestaat, namelijk de rij {1,1,1,1,1,1,1....} de afstand is dan 0, dus dan voldoet elke epsilon. maar voor elke andere rij waarvoor de termen niet constant is voldoet het niet (toch?)

JorisL

Je kan uit de definitie van de Cauchy rij vinden dat elke cauchy rij vanaf een bepaalde N een constante rij zal worden. Anders heb je geen Cauchy rij in deze ruimte.

Zij dus

\((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\)

een Cauchy rij. En kies een willekeurige

\(\epsilon > 0\)

Waarbij voor de elementen

\(a_0,a_1,\ldots,a_N\)

geldt dat

\(a_{N-1} \neq a_N\)

. Hier geldt de definitie dus niet wegens de discrete metriek.

Maar vanaf N wordt er wel aan voldaan. Dan volgt daaruit dat

\(\forall\, n,m>N: \, a_n = a_m \Rightarrow d(a_n,a_m) = 0 < \epsilon\)

Hieruit volgt dan dat voor elke cauchy rij (die dus moet voldoen aan de definitie) de staart van de rij constant is. Dus convergeert naar een element van je ruimte.

Ik hoop dat je de uitleg kan volgen.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] discrete metric ruimte

discrete metric ruimte

Re: discrete metric ruimte

Re: discrete metric ruimte

Re: discrete metric ruimte