[wiskunde] Bijectie tussen een n-dimensionale vectorruimte V en Rn

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 05-11-'12, 15:58

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Bijectie tussen een n-dimensionale vectorruimte V en Rn

"Propositie (1)

Zij (R, V, +) een vectorruimte. Een deel B ⊆ B is een basis van V als en slechts als elke v ∈ V op een unieke manier te schrijven is als een lineaire combinatie van verschillende vectoren uit B"

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Als gevolg van Propositie (1) kunnen we bijecties construeren tussen een n-dimensionale vectorruimte V en Rn. Zij (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte, bijvoorbeeld van dimensie n en zij B = {v1, ..., vn} een basis van V Propositie (1) leerde ons dat elke vector v van V op unieke wijze te schrijven is als lineaire combinatie

v= x1.v1 + x2.v2 + ... + x1.vn.

De coëficiënten (x1, x2, ..., xn) in die lineaire combinatie noemt men de coördinaten van v t.o.v. de gekozen basis B van V. Elke vector v heeft dus een uniek stel coördinaten t.o.v. de basis B. Er ontstaat m.a.w. een bijectieve afbeelding (de coördinaatafbeelding bepaald door basis B)

coB: V -> Rn: v |-> coB(v) = (x1, ..., xn)"

Zou iemand mij hier een extra woordje uitleg over kunnen geven ? Wat bedoelen ze hier nu net allemaal mee ?

Bijectief betekent toch dat het zowel injectief als surjectief is en:

- injectief: elke y-waarde komt met exact 1 x-waarde overeen.

- surjectief: het volledige beeld word 'beschreven'.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 05-11-'12, 19:31

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Bijectie tussen een n-dimensionale vectorruimte V en Rn

De schrijfwijze t.o.v de basisvectoren van een vectorruimte is uniek zoals de stelling zegt. Als je dit wilt aantonen volstaat het twee verschillende schrijfwijzen te nemen en uiteindelijk te bewijzen dat ze toch gelijk zijn.

Stel dat je een
\(n-\)
dimensionale vectorruimte
\(V\)
hebt en stel
\(B=\{v_1,\ldots,v_n\}\)
een basis voor
\(V\)
dan kan je dus elke vector
\(v \in V\)
schrijven als een lineaire combinatie van deze basisvectoren, stel
\(v = x_1v_1+x_2v_2+\ldots+x_nv_n\)
.

Dit kan je voor elke vector in
\(V\)
doen (t.o.v van de basis
\(B\)
), op die manier zie je dus dat je elke vector kan identificeren met zijn coordinaten t.o.v van diezelfde basis. Je kan dus een afbeelding maken, zeg
\(\mbox{co}_b\)
die dus elke vector met zijn coordinaten identificeert.

Deze afbeelding is een bijectie en dus zijn
\(V\)
en
\(\mathbb{R}^n\)
isomorf (wat eigenlijk wilt zeggen dat ze praktisch gelijk zijn). Kan je aantonen dat dit een bijectie is door inderdaad na te gaan dat het een surjectie+injectie is? Om aan te tonen dat de afbeelding injectief is, bewijs dan
\(\forall v,w \in V: \mbox{co}_b(v)=\mbox{co}_b(w) \Rightarrow v=w\)
of toon aan dat de kern alleen het eenheidselement bevat.

Probeer ook eens uit te zoeken wat er nu gebeurt wanneer je een andere basis voor
\(V\)
neemt, op die manier krijg je andere coordinaten voor de vectoren in
\(V\)
. Kan je een verband vinden tussen de coordinaten van een vector t.o.v 2 verschillende basissen?
Omhoog

Bericht 16-02-'13, 13:23

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Bijectie tussen een n-dimensionale vectorruimte V en Rn

Bewijs injectief:
\(
\forall v,w \in V: \mbox{co}_b(v)=\mbox{co}_b(w) \Rightarrow v=w
\)
Als
\( \mbox{co}_b(v)=\mbox{co}_b(w) \)
weten we dat
\(x_1v_1+x_2v_2+\ldots+x_nv_n\)
=
\(x_1w_1+x_2w_2+\ldots+x_nw_n\)
Aangezien deze combinaties beide genomen zijn t.o.v. basis B en we per definitie weten dat alle vectoren uit V als een unieke lineaire combinatie van de elementen uit B te schrijven zijn, volgt hieruit dat v = w.

Bijgevolg komt elke y-waarde overeen met precies exact één x-waarde, of m.a.w. is deze functie injectief.

Aangezien B een basis is weten we ook dat elke vector uit V te schrijven is als een unieke lineaire combinatie van elementen uit B; of m.a.w. dat 'heel V' bereikt kan worden = surjectief.

Klopt het zo een beetje ?

Ik vermoed dat ik alles niet helemaal juist verwoord heb, maar denk dat ik het idee erachter wel te pakken heb.

Ps: Mijn excuses voor de late reactie.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”