[wiskunde] Oefening i.v.m. een lineaire afbeelding

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Oefening i.v.m. een lineaire afbeelding

"Zij f: R² -> R² een lineaire afbeelding die voldoet aan f(1, 2) = (0, -1) en f(-1, 1) = (2, 1). Bereken f(x, y) voor een willekeurige (x, y) ∈ R²."

Ik zou dit als volgt aan pakken:

Elke (x, y) kunnen we schrijven als een combinatie van A1.(1, 2) + A2.(-1, 1) met A1, A2 ∈ R. Aangezien het een lineaire afbeelding betreft weten we dat:

f(x, y) = f(A1.(1, 2) + A2.(-1, 1))

= A1.f(1, 2) + A2.f(-1, 1)

=(0, -A1) + (2.A2, A2)

= (2.A2, A2 - A1)

Maar nu zit ik vast. Volgens mij geraak ik er zelfs op deze manier niet.

Iemand een voorstel ? :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening i.v.m. een lineaire afbeelding

Hint: (0, 3) = (1, 2) + (-1, 1).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening i.v.m. een lineaire afbeelding

Ik heb het ondertussen zelf al gevonden. :D

Je kan f(1, 0) en f(0, 1) berekenen. Deze zijn:

f(1, 0) = (-4 / 3, -1)

f(0,1) = (2 / 3, 0)

Hiermee kan je dan de matrix opstellen (de kolommen zijn gelijk aan de beelden van de basisvectoren)
\( \begin{pmatrix} \frac {-4} {3} & \frac {2} {3} \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)
Na uitwerking bekom je:
\( (\frac {-4x + 2y} {3}, -x) \)
Toch bedankt Dries! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Oefening i.v.m. een lineaire afbeelding

Graag gedaan :) . Het was ook in die richting dat ik je wou sturen met de hint. Alleen een matrix vind ik wat overbodig. Al mag het natuurlijk wel. Immers is (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) en je vindt het ook.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: Oefening i.v.m. een lineaire afbeelding

Ha, ja zo gaat het natuurlijk ook wel. :D

Is een mooi extra trucje.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Reageer