Expectation operator

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 03-12-'12, 14:54

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Expectation operator

Goedendag,

De opgave: Show that the expectation operator E() is a linear operator, or, implying
\(E(a\bar{x}+b\bar{y})=aE(\bar{x})+bE(\bar{y})\)
.

Ik moet hierbij gebruik maken van de volgende definitie:
\(E(\bar{x})=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{\bar{x}}(x)dx\)
Waarin
\(f_{\bar{x}}\)
de probability density function is van random variable
\(\bar{x}\)
.

Ik krijg:
\(aE(\bar{x})=a\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{\bar{x}}(x)dx\)
en:
\(bE(\bar{y})=b\int_{-\infty}^{+\infty}yf_{\bar{y}}(y)dy\)
Ik introduceer een nieuwe random variable:
\(\bar{v}=a\bar{x}+b\bar{y}\)
en krijg vervolgens:
\(E(\bar{v})=E(a\bar{x}+b\bar{y})=\int_{-\infty}^{+\infty}vf_{\bar{v}}(v)dv=\int_{-\infty}^{+\infty}(ax+by)f_{\bar{v}}(v)dv\)
En vervolgens:
\(E(a\bar{x}+b\bar{y})=\int_{-\infty}^{+\infty}(ax+by)f_{\bar{v}}(v)dv=a\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{\bar{v}}(v)dv+b\int_{-\infty}^{+\infty}yf_{\bar{v}}(v)dv\)
Nu moet ik dus nog bewijzen dat:
\(a\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{\bar{v}}(v)dv+b\int_{-\infty}^{+\infty}yf_{\bar{v}}(v)dv=a\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{\bar{x}}(x)dx+b\int_{-\infty}^{+\infty}yf_{\bar{y}}(y)dy\)
Wat geldt wanneer:
\(f_{\bar{v}}(v)dv=f_{\bar{x}}(x)dx=f_{\bar{y}}(y)dy\)
Klopt het tot zover, en hoe nu verder? Alvast bedankt!
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 03-12-'12, 23:48

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Expectation operator

De laatste stap is de makkelijkste, nu moet je alleen nog de definitie van E[X] toepassen.
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 05-12-'12, 15:54

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Expectation operator

Bedankt voor je antwoord.

Waarop moet ik dit toepassen dan?

Het probleem is dat ik een nieuwe random variable heb geïntroduceerd met bijbehorende p.f.d., maar niet zie hoe ik deze kan relateren aan random variable x en y.
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 11-12-'12, 08:42

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Expectation operator

Ik zie niet hoe dit makkelijk zou moeten kunnen... het kan wel zo: Eerst moet je de kansdichtheid voor v bepalen. Ik kies v=x+y. Als je immers bewezen hebt dat het voor x+y en a*x geldt dan heb je ook lineariteit bewezen. Omdat X en Y onafhankelijk zijn:
\( f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)\)
dan geldt dus (dit is de integraal over het oppervlak onder de lijn y=v-x):
\(F_V(v) = \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{v-x}{f_X(x) \cdot f_Y(y) dy} dx} = \int_{-\infty}^{\infty}{f_X(x) \cdot \int_{-\infty}^{v-x}{f_Y(y) dy} dx} = \int_{-\infty}^{\infty}{f_X(x) \cdot F_Y(v-x) dx}\)
Hieruit kun je de kansdichtheid voor V bepalen:
\(f_V(v) = \frac{d}{dv} F_V(v) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_X(x) \cdot f_Y(v-x) dx}\)
Let op! De x in deze formule heeft niks te maken met X. Je zou net zo goed u kunnen gebruiken en voor de duidelijkheid doe ik dat ook.
\(f_V(v) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_X(u) \cdot f_Y(v-u) du}\)
De verwachtingswaarde voor V is:
\(\int_{-\infty}^{\infty}{v \cdot f_V(v) dv} = \int_{-\infty}^{\infty}{v \cdot \int_{-\infty}^{\infty}{f_X(u) \cdot f_Y(v-u) du} dv}= \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{v \cdot f_X(u) \cdot f_Y(v-u) du} dv}\)
Dit is een integraal over een oppervlak. Deze kunnen we transformeren van u en v naar x en y. We kiezen daarvoor:
\(u = x\)
\(v = x+y\)
Voor de transformatie moeten we de Jacobiaan bepalen:
\(J = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 1\)
Er geldt dus:
\(du dv = J dx dy = dx dy\)
De integraal wordt dus:
\(= \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{(x+y) \cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) dx} dy} = \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{x \cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) + y \cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) dx} dy}\)
\(= \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{x \cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) dx} dy} + \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{ y \cdot f_X(x) \cdot f_Y(y) dx} dy}\)
\(= \int_{-\infty}^{\infty}{f_Y(y)\cdot \int_{-\infty}^{\infty}{x \cdot f_X(x) dx} dy} + \int_{-\infty}^{\infty}{y \cdot f_Y(y) \cdot \int_{-\infty}^{\infty}{ f_X(x) dx} dy}\)
\(= \int_{-\infty}^{\infty}{f_Y(y)\cdot E[X] dy} + \int_{-\infty}^{\infty}{y \cdot f_Y(y) dy} = E[X] \cdot \int_{-\infty}^{\infty}{f_Y(y) dy} + E[Y] = E[X] + E[Y]\)
Dit gecombineerd met E[a X] = a E[X] bewijst lineariteit.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Kansrekening en Statistiek”