[wiskunde] Maximum bepalen

Arend97

Ik heb volgend vraagstukje waar ik maar geen oplossing voor kan vinden

De som van de zijden van een rechthoekige driehoek is 14.

Bepaal de twee rechthoekzijden zodanig dat de oppervlakte van de driehoek maximaal is.

Voila dat was het

We noemen de schuine zijde A en de ander 2 B en C (waarom moeilijk doen).

Hieruit kan ik het volgende afleiden:

(B * C) / 2 moet maximaal zijn

A + B + C = 14

en uiteindelijk A² - B² - C² = 0

Wat ik maar niet kan inzien is hoe ik van die 3 vergelijkingen 1 vkv (ax² + bx + c =0) kan maken waarmee ik het maximum kan bepalen met (-b / 2a).

Alle hulp is welkom... ...

Kwintendr

ik zou het zo doen:

Neem je rechthoekige driehoek en neem a en b als rechthoekszijden, c als schuine zijde.

Je weet dat de som a + b + c = 14.

uit Pythagoras haal de dat c^2 = a^2 + b^2

combineer deze 2: 14 = a + b + sqrt(a^2 + b^2) met sqrt de wortel (1)

je weet ook dat de oppervlakte = (a*b)/2 (2)

Haal nu uit (1) bv b en vervang die b door de b in (2). Je hebt dan de oppervlakte uitgedrukt in 1 zijde. Dit zal een 2de gr functie zijn dus je kan het max of min bepalen. Voor de rest lukt het je zelf wel denk ik

Safe

Ga uit van een gelijkbenige driehoek, waarom eigenlijk?

Arend97

Safe schreef: ↑ma 17 dec 2012, 18:21
Ga uit van een gelijkbenige driehoek, waarom eigenlijk?

Om het gemakkelijk te maken?

Pythagoras wordt dan A² = 2 * B² (1)

Omtrek wordt dan 14 = A + 2 * B (2)

Uit (1) A = sqrt(2) * B

Dit in (2) plaatsen 14 = B * (2 + sqrt(2))

Waaruit B = 4.10 en dus ook C

A wordt dan 5.8

En de oppervlakte 8.405

Maar is dit wel de maximum mogelijke oppervlakte?

Ik heb nergens een vkv gezien

Kwintendr schreef: ↑ma 17 dec 2012, 18:20
combineer deze 2: 14 = a + b + sqrt(a^2 + b^2) met sqrt de wortel (1)

je weet ook dat de oppervlakte = (a*b)/2 (2)

Haal nu uit (1) bv b en vervang die b door de b in (2).

Dat is ook sneller getypt dan gedaan, want ik zit ofwel met de macht van een drie term of een wortel van een breuk met C tot de 4de ... ... ...

Enfin van alles behalve 2de gr functie

PS: spijtig dat je de letters van de zijden niet aangehouden hebt, dat maakt het nog moeilijker dan dat het al is

Kwintendr

Wie zegt dat je maximale oppervlakte bij een gelijkbenige driehoek zal zijn?

ik kom als bij b-zijde 4,1 uit en als max opp inderdaad 8,407

Arend97

Kwintendr schreef: ↑ma 17 dec 2012, 19:13
Wie zegt dat je maximale oppervlakte bij een gelijkbenige driehoek zal zijn?

ik kom als bij b-zijde 4,1 uit en als max opp inderdaad 8,407

Wel dat vroeg ik mij ook af.

Indien de getallen die jij opgeeft via jouw methode komen, dan is die veronderstelling wel gegrond want ik kom wel degelijk hetzelfde uit door een gelijkbenige driehoek te veronderstellen

Wil je aub je verwerking van 14 = a + b + sqrt(a^2 + b^2) en oppervlakte = (a*b)/2

met ons delen?

Alvast bedankt hiervoor!

eezacque

Kwintendr schreef: ↑ma 17 dec 2012, 18:20
Haal nu uit (1) bv b en vervang die b door de b in (2). Je hebt dan de oppervlakte uitgedrukt in 1 zijde. Dit zal een 2de gr functie zijn

Dat het een 2de graads functie is, ligt niet helemaal voor de hand...

Kwintendr

14 - a - b = sqrt(a^2 + b^2)

(14 - a - b)^2 = a^2 + b^2

(14 - a - b)*(14 - a - b) = a^2 + b^2

196 - 14a - 14b - 14a + a^2 + ab - 14b + ab + b^2 = a^2 + b^2 ( als ik geen typfout heb gemaakt, maar dit is gewoon distributiviteit)

2ab - 28a = 28b - 196

a = (28b - 196)/(2b - 28)

vul dit dan in : opp = ((28b - 196)/(2b - 28))*(b/2)

Om te weten waar het maximum zit berekenen we de afgeleide en stellen we die gelijk aan 0.

De afgeleide is:

(28b^2 - 392b - 98b + 1372 - 14b^2 + 98b) / (b - 14)^2

de teller moet dus gelijk zijn aan 0. Dit is gemakkelijk op te lossen. Ik heb niet vereenvoudigd, dus de waarden zijn nogal hoog

de waarde van mijn discriminant is: 76832

Ik heb dan 2 waarden voor b: 4,1 en 23, 899

het is vrij logisch dat een zijde niet 23,899 kan zijn want de som is maar 14, de oplossing is dus de andere zijde.

eezacque schreef: ↑ma 17 dec 2012, 19:49
Dat het een 2de graads functie is, ligt niet helemaal voor de hand...

Ik had het over de afgeleide, ik was hier niet echt duidelijk

Arend97

Tot aan Opp = (7b² - 49b) / (b - 14) ben ik mee, maar dan niet meer

Door een gelijkbenige driehoek te veronderstellen (input Safe) kom ik tot juist hetzelfde resultaat: rechthoekzijde = 4.1

Welke stelling/bewijs we moeten aanbrengen om aan te tonen dat een rechthoekige gelijkbenige driehoek ALTIJD de grootste oppervlakte heeft wanneer de som van de zijden van de driehoeken gelijk is, weten enkel de ingewijden; en daar hoor ik niet bij

Kwintendr

Is dat een opgave op school?

Safe

Ok, waarom een gelijkbenige driehoek ...

Bekijk een 'gewone' rechthoekige driehoek, completeer deze tot een rechthoek (hoe?).

St: Als de rechthoek een max opp heeft dan heeft de 'bijbehorende' rechthoekige driehoek ook een max opp.

Bepaal dus de max opp van die rechthoek.

Er is nog een andere redenering mogelijk ...

eezacque

Safe schreef: ↑ma 17 dec 2012, 22:16
Ok, waarom een gelijkbenige driehoek ...

Bekijk een 'gewone' rechthoekige driehoek, completeer deze tot een rechthoek (hoe?).

St: Als de rechthoek een max opp heeft dan heeft de 'bijbehorende' rechthoekige driehoek ook een max opp.

Da's een leuke stelling om te bewijzen!

Zonder dollen, gewoon uitschrijven en middels differentieren het maximum bepalen is eenvoudiger...

Kwintendr schreef: ↑ma 17 dec 2012, 20:21
Ik had het over de afgeleide, ik was hier niet echt duidelijk

Ook de afgeleide is geen tweedegraads vergelijking...

Kwintendr

eezacque schreef: ↑ma 17 dec 2012, 22:27
Da's een leuke stelling om te bewijzen!

Zonder dollen, gewoon uitschrijven en middels differentieren het maximum bepalen is eenvoudiger...

Ook de afgeleide is geen tweedegraads vergelijking...

de afgeleide moet 0 zijn dus de teller moet 0 zijn en de teller is een 2de graads vergelijking, ik denk dat ik het nu volledig verwoord heb

Arend97

Kwintendr schreef: ↑ma 17 dec 2012, 21:41
Is dat een opgave op school?

Ja dat is, en afgeleiden heb ik nog niet gezien

of moet het

zijn ?

Op de rest kom ik later terug... ...

Alvast bedankt voor de reacties!

Arend97

Hierbij een Excel bestand waarin duidelijk te zien is dat bovenstaande wel degelijk de juiste oplossing is

Spijtig genoeg kan ik met mijn 4de jaar ASO leerstof dat niet bewijzen:

a) ik heb nog geen afgeleiden gezien en

b) bewijzen dat een gelijkbenige rechthoekige driehoek de grootste opp heeft zie ik ook niet echt zitten, eezacque ook niet denk ik

eezacque schreef: ↑ma 17 dec 2012, 22:27
Da's een leuke stelling om te bewijzen!

MaximumBepalen.xlsx: (41.37 KiB) 69 keer gedownload

PS: Het Excel bestand komt van mij pa!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Maximum bepalen

Maximum bepalen

Re: Maximum bepalen

Re: Maximum bepalen

Re: Maximum bepalen

Re: Maximum bepalen

Re: Maximum bepalen

Re: Maximum bepalen

Re: Maximum bepalen

Re: Maximum bepalen

Re: Maximum bepalen

Re: Maximum bepalen

Re: Maximum bepalen

Re: Maximum bepalen

Re: Maximum bepalen

Re: Maximum bepalen