Als onderdeel van een project dient de luchtweerstandscoëfficiënt van een zelfgebouwde auto bepaald worden. Mijn hoop was echter om dit zonder de gebruikelijke windtunnel te kunnen doen, namelijk door het voertuig uit te laten rollen.
Op het moment dat de motor (elektrische in-wheel motoren) geen arbeid meer levert, werken er nog twee krachten in de bewegingsrichting (geen helling): rolweerstand aan de banden en luchtweerstand.
De rolweerstand kan op andere, meer eenvoudigere manieren bepaald worden, dus die beschouwen we hier als bekend. Rolweerstand noemen we Fr:
\(F_r=-\mu \cdot m \cdot g\)
Luchtweerstand noemen we Fl en wordt gegeven (of benaderd) door:\(F_l=-0.5 \cdot c_w \cdot \rho \cdot A \cdot v^2\)
Het idee van het uitrollen is nu dat we vanaf een bepaalde snelheid \(v_0\)
de motor uit zetten en het snelheidverloop gaan meten (met een infrarood sensor in het wiel o.i.d.). hieruit bepalen we de acceleratie \(a\)
als functie van de tijd \(t\)
welke we invullen in \(F=m \cdot a\)
met de krachten zoals hierboven beschreven. (in feite is de acceleratie op één bepaald tijdstip genoeg maar voor de nauwkeurigheid en volledigheid kunnen we het net zo goed netjes doen)Vervolgens bepalen we uit die vergelijking de luchtweerstandscoëfficiënt
\(c_w\)
.Tot nu toe allemaal leuk en aardig, maar het probleem zit 'm erin wanneer ik dit wiskundig probeer op te lossen. Als we
\(a\)
schrijven als de tijdsafgeleide van snelheid \(v\)
krijgen we:\(m \cdot \frac{dv}{dt}=-(\mu \cdot m \cdot g+0.5 \cdot c_w \cdot \rho \cdot A \cdot v^2)\)
door scheiding van variabelen en \(c_1=\mu \cdot g\)
en \(c_2=\frac{0.5 \cdot c_w \cdot \rho \cdot A}{m}\)
:\(\frac{dv}{-(c_1+c_2 \cdot v^2)}=dt\)
oplossen levert:\(-\frac{\arctan(\sqrt{\frac{c_2}{c_1}} \cdot v)}{\sqrt{c_1 \cdot c_2}}=t+C\)
(met C de integratieconstante die \(v_0\)
representeert)en uitschrijven levert tenslotte:
\(v(t)=v_0-\sqrt{\frac{c_1}{c_2}} \cdot \tan(t \cdot \sqrt{c_1 \cdot c_2})\)
Het vreemde daaraan is dat de snelheid dus afneemt volgens de tangens van de tijd... en dit lijkt mij ook niet te kloppen. Ik kan echter mijn fout niet vinden, dus hoop dat iemand hier tijd in wil steken en 'm aan kan wijzen!Alvast bedankt,
Joep
