Complex conjugate

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 28-01-'13, 00:23

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Complex conjugate

Goedendag,

Ik weet dat:
\(A(\omega)=\frac{H_1(\omega)}{1+H_1(\omega)H_2(\omega)}\)
en dat:
\(H_1(-\omega)=H_1^*(\omega)\)
\(H_2(-\omega)=H_2^*(\omega)\)
Waarin * staat voor de complex conjugate.

Nu wordt er in de uitwerkingen van mijn boek gesteld dat:
\(A(-\omega)A(\omega)=\left |A(\omega) \right |^2\)
Ik kan dit echter niet bewijzen.

Als geldt dat
\(A(-\omega)=A^*(\omega)\)
dan geldt inderdaad dat
\(A(-\omega)A(\omega)=\left |A(\omega) \right |^2\)
.

Ik wil dus bewijzen dat
\(A(-\omega)=A^*(\omega)\)
.

Nu is:
\(A(-\omega)=\frac{H_1(-\omega)}{1+H_1(-\omega)H_2(-\omega)}=\frac{H_1^*(\omega)}{1+H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)}\)
.

Maar dan ben ik er nog niet.

Kan iemand mij verder helpen?

Alvast bedankt!
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 28-01-'13, 00:53

JorisL

Berichten: 555

Re: Complex conjugate

\(A(-\omega)=\frac{H_1(-\omega)}{1+H_1(-\omega)H_2(-\omega)}=\frac{H_1^*(\omega)}{1+H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)}\)
Dan
\(A(-\omega) = \frac{H_1^*(\omega)}{1+H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)}\cdot\frac{1-H_1(\omega)H_2(\omega)}{1-H_1(\omega)H_2(\omega)} = \frac{H_1^*(\omega)\cdot (1-H_1(\omega)H_2(\omega))}{1-|H_1(\omega)|^2|H(\omega)|^2}\)
.

Probeer nu
\(A^*(\omega)\)
te bepalen op dezelfde manier.

Kom je er dan?
Omhoog

Bericht 28-01-'13, 01:24

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Complex conjugate

Hartelijk dank voor je reactie.

Ik vraag mij af waarom:
\((1+H_1^*(\omega)H_2^*(\omega))\cdot (1-H_1(\omega)H_2(\omega)) = 1-|H_1(\omega)|^2|H_2(\omega)|^2\)
Worden hier niet twee termen vergeten?
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 28-01-'13, 01:49

JorisL

Berichten: 555

Re: Complex conjugate

Mijn excuses, in de extra breuk moesten natuurlijk ook de complex toegevoegde waarden gebruikt worden.

Het komt erop neer dat je de noemer reëel wilt maken.
Omhoog

Bericht 28-01-'13, 03:16

Jaimy11

Gebruikersavatar
Berichten: 614

Re: Complex conjugate

JorisL schreef: ↑ma 28 jan 2013, 01:49
Mijn excuses, in de extra breuk moesten natuurlijk ook de complex toegevoegde waarden gebruikt worden.

Het komt erop neer dat je de noemer reëel wilt maken.

JorisL schreef: ↑ma 28 jan 2013, 00:53
\(A(-\omega) = \frac{H_1^*(\omega)}{1+H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)}\cdot\frac{1-H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)}{1-H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)} = \frac{H_1^*(\omega)\cdot (1-H_1^*(\omega)H_2^*(\omega))}{1-|H_1(\omega)|^2|H(\omega)|^2}\)
.
Omhoog

Bericht 28-01-'13, 08:36

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Complex conjugate

Ik denk dat je eerst eens wat rekenregels moet uitzoeken. Bijvoorbeeld:
\((A B)^* = ((a+j b) (c+j d))^* = ((a c - b d)+j (a d + b c))^* = (a c - b d) - j (a d + b c) = (a-j b)(c - j d) = A^* B^*\)
Als je nu de volgende dingen uitzoekt dan is je opgave simpel:
\(\left( \frac{1}{A} \right)^* = \cdots\)
\(\left( 1 + A \right)^* = \cdots\)
Omhoog

Bericht 28-01-'13, 10:21

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Complex conjugate

Arie Bombarie schreef: ↑ma 28 jan 2013, 00:23
\(A(\omega)=\frac{H_1(\omega)}{1+H_1(\omega)H_2(\omega)}\)
en dat:
\(H_1(-\omega)=H_1^*(\omega)\)
\(H_2(-\omega)=H_2^*(\omega)\)
Waarin * staat voor de complex conjugate.

Nu wordt er in de uitwerkingen van mijn boek gesteld dat:
\(A(-\omega)A(\omega)=\left |A(\omega) \right |^2\)
Ik kan dit echter niet bewijzen.

Als geldt dat
\(A(-\omega)=A^*(\omega)\)
dan geldt inderdaad dat
\(A(-\omega)A(\omega)=\left |A(\omega) \right |^2\)
.

Ik wil dus bewijzen dat
\(A(-\omega)=A^*(\omega)\)
.

Nu is:
\(A(-\omega)=\frac{H_1(-\omega)}{1+H_1(-\omega)H_2(-\omega)}=\frac{H_1^*(\omega)}{1+H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)}\)
.

Maar dan ben ik er nog niet.
Je schrijft niet op A*=...

Dat mis ik ...
Omhoog

Bericht 28-01-'13, 13:53

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Complex conjugate

Hartelijk dank voor de reacties!

Volgens mij ben ik er nu uit:
\(\left( \frac{1}{A} \right)^* = \left( \frac{1}{a+bj} \right)^*=\left( \frac{1}{a+bj}\cdot \frac{a-bj}{a-bj}\right)^*=\left( \frac{a-bj}{a^2+b^2} \right)^*=\frac{a+bj}{a^2+b^2}=\frac{A}{|A|^2}\)
Dus geldt ook (gebruikmakend van het bewijs van EvilBro):
\(\left (\frac{A}{B} \right )^*=\frac{A^*B}{|B|^2}\)
\((1+A)^*=(1+a+bj)^*=1+a-bj=1+A^*\)
Nu de complex conjugate van A(w):
\(A^*(\omega)=\left (\frac{H_1(\omega)}{1+H_1(\omega)H_2(\omega)} \right )^*=\frac{H_1^*(\omega)(1+H_1(\omega)H_2(\omega))}{\left |1+H_1(\omega)H_2(\omega) \right |^2}\)
Nu terug naar A(-w):
\(A(-\omega)=\frac{H_1^*(\omega)}{1+H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)}\cdot\frac{1+H_1(\omega)H_2(\omega)}{1+H_1(\omega)H_2(\omega)}=\frac{H_1^*(\omega)(1+H_1(\omega)H_2(\omega))}{\left ((1+H_1(\omega)H_2(\omega) \right )^*(1+H_1(\omega)H_2(\omega))}=\frac{H_1^*(\omega)(1+H_1(\omega)H_2(\omega))}{\left |1+H_1(\omega)H_2(\omega) \right |^2}=A^*(\omega)\)
Dus inderdaad:
\(A(-\omega)A(\omega)=A^*(\omega)A(\omega)=\left |A(\omega) \right |^2\)
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog

Bericht 28-01-'13, 16:23

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Complex conjugate

Ik zou zeggen:
\(\left( \frac{1}{A} \right)^* = \left( \frac{1}{a+bj} \right)^*=\left( \frac{1}{a+bj}\cdot \frac{a-bj}{a-bj}\right)^*=\left( \frac{a-bj}{a^2+b^2} \right)^*=\frac{a+bj}{a^2+b^2}=\frac{a+bj}{(a-bj)(a+bj)} = \frac{1}{a-b j} = \frac{1}{A^*}\)
Op die manier heb je de term met absoluutstrepen niet. Je hebt ook nog:
\(\left( A B \right)^* = A^* B^*\)
\(\left(1 + A \right)^* = 1 + A^*\)
dus:
\(A^* = \left(\frac{H_1}{1 + H_1 H_2}\right)^* = \left(H_1 \frac{1}{1 + H_1 H_2}\right)^*= \left(H_1 \right)^* \left(\frac{1}{1 + H_1 H_2}\right)^* = H_1^* \frac{1}{\left(1 + H_1 H_2\right)^*}= H_1^* \frac{1}{1 + \left(H_1 H_2\right)^*}\)
\(= H_1^* \frac{1}{1 + \left(H_1\right)^* \left( H_2\right)^*} = \frac{H_1^*}{1 + H_1^* H_2^*} = A(-\omega)\)
(ik heb hier meer stappen in gezet dan ik normaal zou doen voor de duidelijkheid.) De rest volgt dan eenvoudig.
Omhoog

Bericht 28-01-'13, 18:14

Arie Bombarie

Gebruikersavatar
Berichten: 682

Re: Complex conjugate

Dat is een stuk eenvoudiger inderdaad.

Hartelijk bedankt, het is mij duidelijk :) .
Help WSF met het vouwen van eiwitten en zo ziekten als kanker en dergelijke te bestrijden in de vrije tijd van je chip:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.ph ... opic=59270
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”