[wiskunde] Lineaire afbeelding tussen vectorruimten
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 1.201
Lineaire afbeelding tussen vectorruimten
"Zij L: V -> een lineaire afbeelding tussen vectorruimten (R, V, +) en (R, W, +). Veronderstel dat {e1, e2, ..., en} een vrij deel is van V.
(a) Toon aan dat {L(e1), L(e2), ..., L(en)} een vrij deel is van W als L injectief is.
(b) Illustreer met een expliciet voorbeeld dat injectiviteit van L essentieel is opdat {L(e1), L(e2), ..., L(en)} een vrij deel zou zijn."
Ik heb het gevoel dat er aan mijn bewijs i.v.m. (a) nog iets niet klopt, zou iemand dit eens wille bekijken ? Of is er een betere manier ?
a) Gegeven het feit dat {e1, e2, ..., en} vrij is, weten we dat:
A1.e1 + A2.e2 + ... + An.en = 0 Als en slechts als A1, A2, ..., An = 0.
Nu is:
L(A1.e1 + A2.e2 + ... + An.en) = A1.L(e1) + A2.L(e2) + ... + An.L(en) = L(0)
Dus:
A1.L(e1) + A2.L(e2) + ... + An.L(en) = L(0.e1 + 0.e2 + ... + 0.en)
A1.L(e1) + A2.L(e2) + ... + An.L(en) = 0.L(e1) + 0.L(e2) + ... + 0.L(en) = 0
Gezien de injectiviteit van L komt elke vector in W overeen met precies één vector uit V. In het bijzonder is de enige vector uit v die de nulvector oplevert deze van het vrije deel waarbij alle coëfficiënten 0 zijn
(a) Toon aan dat {L(e1), L(e2), ..., L(en)} een vrij deel is van W als L injectief is.
(b) Illustreer met een expliciet voorbeeld dat injectiviteit van L essentieel is opdat {L(e1), L(e2), ..., L(en)} een vrij deel zou zijn."
Ik heb het gevoel dat er aan mijn bewijs i.v.m. (a) nog iets niet klopt, zou iemand dit eens wille bekijken ? Of is er een betere manier ?
a) Gegeven het feit dat {e1, e2, ..., en} vrij is, weten we dat:
A1.e1 + A2.e2 + ... + An.en = 0 Als en slechts als A1, A2, ..., An = 0.
Nu is:
L(A1.e1 + A2.e2 + ... + An.en) = A1.L(e1) + A2.L(e2) + ... + An.L(en) = L(0)
Dus:
A1.L(e1) + A2.L(e2) + ... + An.L(en) = L(0.e1 + 0.e2 + ... + 0.en)
A1.L(e1) + A2.L(e2) + ... + An.L(en) = 0.L(e1) + 0.L(e2) + ... + 0.L(en) = 0
Gezien de injectiviteit van L komt elke vector in W overeen met precies één vector uit V. In het bijzonder is de enige vector uit v die de nulvector oplevert deze van het vrije deel waarbij alle coëfficiënten 0 zijn
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 10.179
Re: Lineaire afbeelding tussen vectorruimten
Je kan het veel beter verwoorden: stel dat B1 L(e1) + ... + Bn L(en) = 0. We weten dat L lineair is, dus dit is equivalent met zeggen dat L(B1e1 + ... + Bn en) = 0. Daar nu L injectief is, betekent dit dan weer dat B1e1 + ... + Bn en= 0. Nu kun je je gegeven gebruiken.
Heb je inspiratie voor b)?
Heb je inspiratie voor b)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.201
Re: Lineaire afbeelding tussen vectorruimten
Euhm, ik ben met uw verwoording nog ergens niet mee.
Waarom betekent nu die injectiviteit (zoals u het zegt) dat "Daar nu L injectief is, betekent dit dan weer dat B1e1 + ... + Bn en= 0." ?
En moeten we het niet in de omgekeerde richting bewijzen ?
Ik kom zo terug op (b).
Waarom betekent nu die injectiviteit (zoals u het zegt) dat "Daar nu L injectief is, betekent dit dan weer dat B1e1 + ... + Bn en= 0." ?
En moeten we het niet in de omgekeerde richting bewijzen ?
Ik kom zo terug op (b).
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 10.179
Re: Lineaire afbeelding tussen vectorruimten
Een mooie oefening is: toon aan dat een lineaire afbeelding injectief is als en slechts als ker L = {0}. En het is zeker niet de andere richting: ik neem de injectiviteit van L en bewijs dan dat je deel vrij is. Dat is ook de opgave.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.201
Re: Lineaire afbeelding tussen vectorruimten
Eerst die oefening dan maar ?
Kies een willekeurige v ∈ Ker L.
Dan weten we dat L(v) = 0, maar we weten ook dat L(0) = 0 wegens de lineairiteit van L. Dus hebben v en 0 hetzelfde beeld in L. Omdat L injectief is moet v = 0, m.a.w. Ker L = {0}.
Dus:
stel dat B1 L(e1) + ... + Bn L(en) = 0. We weten dat L lineair is, dus dit is equivalent met zeggen dat L(B1e1 + ... + Bn en) = 0. Daar nu L injectief is, betekent dit dan weer dat B1e1 + ... + Bn en= 0.
Dit kan enkel wanneer B1, B2, ..., Bn = 0. Waaruit volgt dat B1 L(e1) + ... + Bn L(en) = 0 als en slechts als B1, B2, ..., Bn = 0, of m.a.w. dat {L(e1), L(e2), ..., L(en)} een vrij deel is.
Kies een willekeurige v ∈ Ker L.
Dan weten we dat L(v) = 0, maar we weten ook dat L(0) = 0 wegens de lineairiteit van L. Dus hebben v en 0 hetzelfde beeld in L. Omdat L injectief is moet v = 0, m.a.w. Ker L = {0}.
Dus:
stel dat B1 L(e1) + ... + Bn L(en) = 0. We weten dat L lineair is, dus dit is equivalent met zeggen dat L(B1e1 + ... + Bn en) = 0. Daar nu L injectief is, betekent dit dan weer dat B1e1 + ... + Bn en= 0.
Dit kan enkel wanneer B1, B2, ..., Bn = 0. Waaruit volgt dat B1 L(e1) + ... + Bn L(en) = 0 als en slechts als B1, B2, ..., Bn = 0, of m.a.w. dat {L(e1), L(e2), ..., L(en)} een vrij deel is.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 10.179
Re: Lineaire afbeelding tussen vectorruimten
Dat is inderdaad het idee . Begrijp je nu a)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.201
Re: Lineaire afbeelding tussen vectorruimten
Ja ik had het er in mijn post hierboven nog bij gezet na je reactie.
Zo zou het dan moeten kloppen ?Biesmansss schreef: ↑za 23 feb 2013, 12:09
stel dat B1 L(e1) + ... + Bn L(en) = 0. We weten dat L lineair is, dus dit is equivalent met zeggen dat L(B1e1 + ... + Bn en) = 0. Daar nu L injectief is, betekent dit dan weer dat B1e1 + ... + Bn en= 0.
Dit kan enkel wanneer B1, B2, ..., Bn = 0. Waaruit volgt dat B1 L(e1) + ... + Bn L(en) = 0 als en slechts als B1, B2, ..., Bn = 0, of m.a.w. dat {L(e1), L(e2), ..., L(en)} een vrij deel is.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 10.179
Re: Lineaire afbeelding tussen vectorruimten
Dat klopt inderdaad .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.201
Re: Lineaire afbeelding tussen vectorruimten
Danku Dries!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 10.179
Re: Lineaire afbeelding tussen vectorruimten
En wat voor b)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.201
Re: Lineaire afbeelding tussen vectorruimten
Als voor (b):
Beschouw L: R2 -> R: (x, y) |-> x + y
Deze is duidelijk niet injectief want:
L(1, 0) = 1
L(0, 1) = 1
Het is triviaal om in te zien dat {(1, 0), (0, 1)} een vrij deel is; evenals het triviaal is om in te zien dat {L(1, 0), L(0, 1)} = {1, 1} geen vrij deel is.
Beschouw L: R2 -> R: (x, y) |-> x + y
Deze is duidelijk niet injectief want:
L(1, 0) = 1
L(0, 1) = 1
Het is triviaal om in te zien dat {(1, 0), (0, 1)} een vrij deel is; evenals het triviaal is om in te zien dat {L(1, 0), L(0, 1)} = {1, 1} geen vrij deel is.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 10.179
Re: Lineaire afbeelding tussen vectorruimten
Dat voorbeeld klopt uiteraard . Er zijn er veel die je kunt kiezen. Hoofdzaak is uiteraard het niet-injectief zijn.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
- Berichten: 1.201
Re: Lineaire afbeelding tussen vectorruimten
Ok, nogmaals hartelijk dank Dries!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes