\( L \)
. Deze zaag ik door midden op een willekeurige plek (uniform). Vervolgens zaag ik het overgebleven deel nog een keer willekeurig (uniform). :De lengte na één keer zagen is
\( X \)
en na twee keer zagen \( Y \)
.de kansverdeling
\( f(X) = \frac{1}{L} \)
(ik kan kiezen over de hele lengte L)de kansverdeling
\( f(Y \vert X) = \frac{1}{X} \)
(ik kan alleen kiezen tussen het overgebleven stuk X)M.a.w. als ik weet dat er veel is weggezaagd na een keer, dan weet ik gemiddeld meer over de positie van Y.
Nu is de vraag, wat is de kans
\( f( X \vert Y) \)
, oftewel, wat is de kans op lengte X, gegeven dat ik Y weet. Of anders gezegd, stel ik heb nog 3 meter over (en ik had 5 meter oorspronkelijk), kan ik dan wat zeggen over de lengte die ik had na één keer zagen?)Nou : volgens Bayes:
\( f(X \vert Y) = \frac{ f(Y \vert Y) \cdot f(X) } { \int f(Y \vert Y) \cdot f(X) dx } \)
dat levert:\( f(X \vert Y) = \frac{ \frac{1}{xl} } { \int_{y}^L \frac{1}{xl} dx} \)
\( f(X \vert Y) = \frac{1}{ x \cdot \ln{ \frac{L}{y}}}\)
.Dit is een dalende functie. M.a.w. woorden, als ik zeg, de eindlengte is 3, dan is de kans dat ik na één keer zagen 3,1 had, groter dan dat ik na één keer zagen 4,9 had.
1) Klopt dit?
2) waarom komt dit? Omdat de kans op een kleine Y groter is, of omdat er nog wat anders zit, wat ik niet zie? Bvd!
