[wiskunde] Epsilon - delta bewijs vraag.

Kwintendr

Hallo iedereen

Ik heb een epsilon-delta bewijs geprobeerd en ik kwam iets uit wat ik nog niet tegengekomen ben. Ik heb het bewijs opgesplitst in 2 delen, nl voor x>=1 en voor x<1. Anders kon ik volgens mijn inzichten die ik toen had niet verder. Ik kwam een verschillende delta waarde uit voor deze 2 gevallen. Mijn vraag is nu, is dat mogelijk?

Ik herinner me dat de assistent analyse altijd zei: "Ik geef u een epsilon en daarbij moet jij dan een bijhorende delta kunnen geven". Als ik puur afga op dat zinnetje zit ik goed. Ik moet gewoon kijken of mijn x-wa kleiner is dan 1 of niet. Is dat juist?

Drieske

Kun je het voorbeeld eens heel concreet geven? Dus met het functievoorschrift. En kun je ook de definitie van continuïteit exact formuleren?

Kwintendr

Dit is mijn bewijs. De tekst die ik er onder geschreven heb lees je best niet, daar zat ik met mijn gedachten ergens anders

Drieske

Okee, maar wat is je functie? Ik zie dat niet goed. Je eerste regel is:

\(\left|\frac{2y^3 x}{x^4 + y^2} - \frac{4y^3 x^5}{(x^4 + y^2)^2}\right|\)

. Ik kan dat niet verbinden met iets van de vorm |f(x, y) - f(a, b)|... En het is een functie in 2 variabelen?

Kwintendr

Dat is mijn functie. De limietwaarde in (0,0) is denk ik 0, ook als je verschillende paden neemt. Dus daar staat |f(x, y) - f(a, b)| maar f(a,b)=0. Het is inderdaad een functie in 2 variabelen. Ik denk nochtans wel dat ik de definitie snap. Men zegt dat f continu is in een punt als voor elke epsilon > 0 (hoe klein ook) een delta in functie van epsilon kan gevonden worden waarvoor geldt dat |f(x, y) - f(a, b)| < epsilon. zodra ||x-a|| < delta.

Drieske

Los van of je nu een gevalsonderscheid moet maken of niet: er kruipen vrij veel fouten in je uitwerking. Ik zou er nog eens rustig naar kijken. Een begin (onder behoud van een typfout):

\(\left|\frac{2y^3 x}{x^4 + y^2} - \frac{4y^3 x^5}{(x^4 + y^2)^2}\right| = \left|\frac{2y^3x(x^4 + y^2) - 4y^3 x^5}{(x^4 + y^2)^2}\right| = \left|\frac{2y^3x^5 + 2y^5x - 4y^3 x^5}{(x^4 + y^2)^2}\right| = \)

\(\left|\frac{2y^5x - 2y^3 x^5}{(x^4 + y^2)^2}\right| = \left|\frac{2y^3x (y^2 - x^4)}{(x^4 + y^2)^2}\right|\)

.

Kwintendr

Dat staat er toch? Edit, ik zie dat er bij mij wel een schrijffoutje staat. In jou laatste stukje staat er x^4 en bij mij x^2. Dat moet uiteraard ook x^4 zijn, maar de volgende stap zit ik weer juist. Eerst had ik het in het klad gedaan en tijdens het overschrijven is daar een schrijffoutje ingekropen.

aadkr

Beste Kwintendr, in je bericht waarboven staat ""geplaatst op vandaag 20.09 eindig je met ""zodra

\(\Vert x-a\Vert<\delta \)

Klopt dit wel?

Kwintendr

Ik zal letterlijk de zin overtypen uit de cursus:

Men zegt dat f continu is in a als voor elke

\(\epsilon > 0\)

( hoe klein ook ) een

\(\delta > 0\)

kan worden gevonden waarvoor

\(| f(x) - f(a) \vert < \epsilon\)

, zodra

\(\Vert x-a\Vert<\delta\)

.

Dat is toch wat ik zei of niet?

aadkr

Dat klopt wel voor

\(y=f(x) \)

Maar voor

\(z=f(x,y) \)

klopt die defiinitie niet meer

Ben je bekend met het begrip uit de topology het begrip ""open bol ""

Drieske

Die definitie is perfect veralgemeenbaar. Alleen wordt ze in 2 veranderlijken |f(x, y) - f(a, b)| < e zodra ||(x, y) - (a, b)|| < d. En zo loopt dat op voor hogere dimensies. Open bollen heb je dus niet echt nodig.

Op je bewijs kom ik morgen terug (maar ik had inderdaad een "<" als "=" gezien).

Kwintendr

Ik ben er mee bij de prof geweest en zij zei dat het bewijs juist is. Alleen kan het wel een stuk korter.

Drieske

Sorry, uit het oog verloren. Ik betwijfel dan dat ze dat in detail heeft bekeken. Je keuze (in het geval x<1) van y = (x⁴ + y²)^1/2 houdt namelijk niet echt steek. Te meer omdat het zeker niet zo is dat die ongelijkheid dan zomaar geldt...

Uiteraard is het in principe wel okee om zo'n gevalsonderscheid te maken.

Kwintendr

Ja, sorry, dat is daar weer een slordigheidje van mij. Tuurlijk is niet zomaar y=(x^4+y^2)^(1/2). Ik bedoel daarmee, we vervangen y door (x^4+y^2)^(1/2). Eigenlijk had ik moeten schrijven: y <= (x^4+y^2)^(1/2)

Drieske

Okee, dat klopt wel

. Als y negatief is, is het triviaal (want het rechterlid is positief), en als y positief is, komt het neer op zeggen dat 0 <= x⁴. Nog één detail: je gevalsonderscheid is eigenlijk met absolute waarden.

Weet je de kortere weg of nog niet?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Epsilon - delta bewijs vraag.

Epsilon - delta bewijs vraag.

Re: Epsilon - delta bewijs vraag.

Re: Epsilon - delta bewijs vraag.

Re: Epsilon - delta bewijs vraag.

Re: Epsilon - delta bewijs vraag.

Re: Epsilon - delta bewijs vraag.

Re: Epsilon - delta bewijs vraag.

Re: Epsilon - delta bewijs vraag.

Re: Epsilon - delta bewijs vraag.

Re: Epsilon - delta bewijs vraag.

Re: Epsilon - delta bewijs vraag.

Re: Epsilon - delta bewijs vraag.

Re: Epsilon - delta bewijs vraag.

Re: Epsilon - delta bewijs vraag.

Re: Epsilon - delta bewijs vraag.