dirkwb schreef: ↑di 09 apr 2013, 18:56
Is ' afgeleide naar de tijd? En met Driekse's hint kom je er trouwens.
Gewoon de afgeleide van
\(f\)
, want die heeft als enige variabele
\(y\)
. Die variabele is wel gelijk aan een uitdrukking met twee variabelen, maar dat maakt hier volgens mij niet. Voor
\(u_t\)
differentieer je f(y) naar t en voor
\(u_{xx}\)
tweemaal naar x.
Ondertussen was ik al op de oplossing gekomen. Ik had wat ik dacht te snel afgeschreven, maar dat leek toch de manier te zijn.
\(u(x,t) = \frac{1}{t^a}f(\frac{x}{\sqrt{t}})\)
\(u_t = \frac{1}{t^a}\left(-\frac{x}{2t\sqrt{t}}f'\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right) - \frac{a}{t}f\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)\right) = \frac{1}{t^{a+1}}\left(-\frac{1}{2}yf'(y) - af(y)\right)\)
\(u_x = \frac{1}{t^a\sqrt{t}}f'(y)\)
\(u_{xx} = \frac{1}{t^{a+1}}f''(y)\)
Er geldt:
\(u_t = u_{xx} \Rightarrow u_{xx} - u_t = 0\)
Dus:
\(\frac{1}{t^{a+1}}f''(y) - \frac{1}{t^{a+1}}\left(-\frac{1}{2}yf'(y) - af(y)\right) = 0\)
\(\frac{1}{t^{a+1}}\left(f''(y) + \frac{1}{2}yf'(y) + af(y)\right) = 0\)
\(\frac{1}{t^{a+1}} \neq 0\)
, dus:
\(f''(y) + \frac{1}{2}yf'(y) + af(y) = 0\)
En dit moest aangetoond worden.
Bedankt voor het bevestigen
-----
Bepaal de oplossing van \(u_t = u_{xx}\)
die voldoet aan
\(u(0,t) = 0\)
voor
\(t > 0\)
en
\(u(x,0) = 1\)
voor
\(x > 0\)
. Hint: Stel
\(a = 0\)
.[/b]
Als
\(a = 0\)
, dan
\(u(x,t) = f(y)\)
. Dus dat zou betekenen dat als ik
\(f''(y) + \frac{1}{2}yf'(y) + af(y) = 0\)
kan oplossen voor
\(f(y)\)
, ik ook
\(u(x,t)\)
gevonden heb, toch? Dan de beginvoorwaarden invullen en dat moet de oplossing geven.
Als dit het geval is: hoe los ik
\(f''(y) + \frac{1}{2}yf'(y) + af(y) = 0\)
op?
.
