Harmonische trilling differentiaal vergelijking

Practichem

Goeiedag,

De harmonische trilling zonder demping is de gemakkelijkste en treedt op bij een veer (voldoet aan wet van Hooke)

Na de afleiding kom ik op de vergelijking:

$Afbeelding$

ik herschrijf die met k/m = omega²

en de oplossing van deze vergelijking is

$Afbeelding$

Nu wil ik de oplossing (Asin(ωt + a)) van de differentiaal vergelijking die hierboven staat bekomen adhv Euler:

oplossingen van karakteristieke vergelijking: x = e^(-iωt) + e^(iωt)

Algemene oplossing: x = A e^(-iωt) + B e^(iωt)

Nu weten we via Euler:

$Afbeelding$

Hoe kan ik dan x = A e^(-iωt) + B e^(iωt) omvormen tot Asin(ωt+α) via Euler?

Enorm bedankt.

JorisL

Er zijn 2 oplossingen, ook een cosinus oplossing.

Stel

$x_2(t)=B\cos (\omega t+\beta)$

Dan

$\frac{d^2}{dt^2} \left( B\cos (\omega t+\beta) \right) = \frac{d}{dt} \left(-B\omega \sin (\omega t + \beta )\right) = -\omega^2 B\cos (\omega t+\beta )\right)$

Dan krijg je dus

$x_{algemeen} (t) =A\sin (\omega t+\alpha)+B\cos (\omega t+\beta ) $

.

Wat je nu kan doen is A en B herschrijven in de vorm

$A=A^\prime e^{i\alpha}$

en

$A=A^\prime e^{-i\beta}$

Het wordt uiteraard iets eenvoudiger als je een beginvoorwaarde gebruikt.

Dan kan je eenvoudiger werken.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Harmonische trilling differentiaal vergelijking

Harmonische trilling differentiaal vergelijking

Re: Harmonische trilling differentiaal vergelijking