[wiskunde] modulorekenen

angel1995

We zijn vandaag begonnen met modulorekenen in de klas. Ik heb de volgende opdracht meegekregen: Wanneer heeft de vergelijking ax = b(mod m)? Ik weet dat er drie streepjes moeten staan ipv = .

Dus als je ax/m moet de rest b zijn als ik dat goed begrepen heb in de les vandaag?

Xenion

angel1995 schreef: ↑do 25 apr 2013, 19:27
Dus als je ax/m moet de rest b zijn als ik dat goed begrepen heb in de les vandaag?

Ja dat klopt, maar enkel als b < m.

Algemeen is het juister om te zeggen dat ax en b dezelfde rest moeten hebben bij deling door m.

Bijvoorbeeld:

\(8 \equiv 6 \pmod{2}\)

angel1995

ja maar als je nu een vergelijking met x hebt dan kun je toch oneindig veel waarden in x invullen, er is toch nooit één enkele oplossing?

Drieske

Als ik je vraag juist begrijp, is het: wanneer heeft ax = b mod m een oplossing. Klopt dat?

angel1995

Drieske schreef: ↑za 27 apr 2013, 15:53
Als ik je vraag juist begrijp, is het: wanneer heeft ax = b mod m een oplossing. Klopt dat?

oei mijn vraag is inderdaad niet juist geformuleerd, de vraag moest zijn wanneer heeft ax = b mod m slechts 1 oplossing?

Drieske

Belangrijk hierbij is om te beseffen dat er bedoeld wordt: 1 oplossing in Z/mZ. Snap je wat ik bedoel daarmee? Want daar ligt wel de basis natuurlijk.

angel1995

Drieske schreef: ↑za 27 apr 2013, 18:23
Belangrijk hierbij is om te beseffen dat er bedoeld wordt: 1 oplossing in Z/mZ. Snap je wat ik bedoel daarmee? Want daar ligt wel de basis natuurlijk.

nee sorry dat snap ik niet, met Z bedoel je waarschijnlijk wel de gehele getallen maar ik snap mZ niet

Drieske

Met Z bedoel ik inderdaad de gehele getallen

. Met Z/mZ bedoel ik de getallen modulo m. Een andere notatie Z_m. Die ken je misschien wel? Het punt is vooral: er wordt gevraagd naar een unieke oplossing, modulo m. Als x een oplossing is, dan is x + km (voor elk k) ook een oplossing uiteraard. Maar die behoren allen (modulo m) tot deze zogenaamde equivalentieklasse (namelijk x mod m).

angel1995

Drieske schreef: ↑zo 28 apr 2013, 14:06
Met Z bedoel ik inderdaad de gehele getallen . Met Z/mZ bedoel ik de getallen modulo m. Een andere notatie Z_m. Die ken je misschien wel? Het punt is vooral: er wordt gevraagd naar een unieke oplossing, modulo m. Als x een oplossing is, dan is x + km (voor elk k) ook een oplossing uiteraard. Maar die behoren allen (modulo m) tot deze zogenaamde equivalentieklasse (namelijk x mod m).

sorry maar ik snap er niet zo veel van, ik heb er waarschijlijk nog niet genoeg achtergrond voor, aangezien dit in de klas niet zo uitgebreid werd uitgelegd

Drieske

Okee, ben je bekend met de notatie

\(\zz_m\)

? Daarmee duidt men de gehele getallen modulo m aan. Ben je verder bekend met de notatie

\(\overline{k}\)

? Daarmee noteert men wat men (korter) de verzameling van getallen

\(\{k + nm | n \in \zz\}\)

. Vergeet de rest van mijn vorige post ook maar.

Nu heb jij de vraag: wanneer heeft

\(ax \equiv b \mod m\)

één oplossing? Dan bedoelt men dus eigenlijk: wanneer is er maar één

\(\overline{x}\)

(dus een getal in

\(\zz_m\)

) waarvoor bovenstaande geldt? Of nog: je eist dat x ligt tussen 0 en m. Snap je dit een beetje?

angel1995

Drieske schreef: ↑zo 28 apr 2013, 14:27
Okee, ben je bekend met de notatie
\(\zz_m\)
? Daarmee duidt men de gehele getallen modulo m aan. Ben je verder bekend met de notatie
\(\overline{k}\)
? Daarmee noteert men wat men (korter) de verzameling van getallen
\(\{k + nm | n \in \zz\}\)
. Vergeet de rest van mijn vorige post ook maar.

Nu heb jij de vraag: wanneer heeft
\(ax \equiv b mod m\)
één oplossing? Dan bedoelt men dus eigenlijk: wanneer is er maar één
\(\overline{x}\)
(dus een getal in
\(\zz_m\)
) waarvoor bovenstaande geldt? Of nog: je eist dat x ligt tussen 0 en m. Snap je dit een beetje?

Ik heb mijn notities er eens bijgenomen en daarin heb ik inderdaad de notitie

\(\zz_m\)

in teruggevonden. Ook dit

\(\overline{k}\)

heb ik teruggevonden. Bij ons werd het congruentieklasse genoemd en het is de verzameling van alle getallen die congruent zijn aan x mod m. Maar congruentie ken ik eigenlijk alleen maar uit de meetkunde. Ik denk dat ik de laatste 3 lijntjes ook wel snap. Die x staat toch voor de inverse van a toch?

Drieske

angel1995 schreef: ↑zo 28 apr 2013, 18:01
Maar congruentie ken ik eigenlijk alleen maar uit de meetkunde.

Onthou hier dan gewoon dat het eigenlijk neerkomt op die verzameling die ik in mijn vorige post gaf. Of dus: de gehele getallen met rest k na deling door m behoren allen tot dezelfde congruentieklasse.

Ik denk dat ik de laatste 3 lijntjes ook wel snap. Die x staat toch voor de inverse van a toch?

Waarom denk je dat x de inverse van a moet zijn? Je wilt toch oplossingen x zoeken zodat ax = b mod m geldt?

angel1995

Drieske schreef: ↑zo 28 apr 2013, 18:06
Onthou hier dan gewoon dat het eigenlijk neerkomt op die verzameling die ik in mijn vorige post gaf. Of dus: de gehele getallen met rest k na deling door m behoren allen tot dezelfde congruentieklasse.

Waarom denk je dat x de inverse van a moet zijn? Je wilt toch oplossingen x zoeken zodat ax = b mod m geldt?

ja klopt inderdaad, x is enkel de inverse van a als b = 1.

Drieske

Als die inverse al bestaat dan

. Maar goed, terug naar de vraag "1 oplossing voor ax = b mod m". Enig idee hoe te beginnen?

angel1995

Drieske schreef: ↑zo 28 apr 2013, 18:30
Als die inverse al bestaat dan . Maar goed, terug naar de vraag "1 oplossing voor ax = b mod m". Enig idee hoe te beginnen?

Ik weet dat als de ggd (a,m) = 1 er altijd een oplossing is en (2) als de ggd(a,m) een deler van b is, is er ook een oplossing is, maar in deze gevallen is er meestal meer dan 1 oplossing. Maar er moet toch zowiezo aan voorwaarde (2) voldaan worden?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] modulorekenen

modulorekenen

Re: modulorekenen

Re: modulorekenen

Re: modulorekenen

Re: modulorekenen

Re: modulorekenen

Re: modulorekenen

Re: modulorekenen

Re: modulorekenen

Re: modulorekenen

Re: modulorekenen

Re: modulorekenen

Re: modulorekenen

Re: modulorekenen

Re: modulorekenen