[wiskunde] differentiaal

lucca

Veronderstel de volgende 2 differentiaalvergelijkingen:

\( \frac{d y}{dt} = 3x y \)

\( \frac{d x}{dt} = -3y x \)

Tot dus ver is het mij niet gelukt deze zo danig uit te rekenen dat ik een gesloten uitdrukking krijg voor y en x door de tijd. Echter, betekent dat ook dat er ''geen oplossing'' bestaat, m.a.w. kan ik de 'existence of solution' niet bewijzen hier? bvd!

lucca

Ik had zelf als idee:

\( \frac{dy}{dt} = 3 xy \)

\( \frac{dy}{y} = 3 x dt \)

\( \int \frac{dy}{y} = \int 3 x dt \)

\( \ln y =3xt \)

\( y = e^{3xt} \)

Dan de andere differentiaal:

\( \frac{dx}{dt} = - 3 xy \)

substitueer nu y in deze dv, dan:

\( \frac{dx}{dt} = - 3 x e^{3xt} \)

maar dan:

\( \frac{dx}{dt} = - 3 x e^{3xt} \)

\( dx = - 3 x e^{3xt} dt \)

\( \int dx = \int - 3 x e^{3xt}dt \)

\( x = - e^{3xt} \)

Dus, we krijgen nu:

(1)

\( y = e^{3xt} \)

(2)

\( x = - e^{3xt} \)

Vraag is nu, kan ik dit nog zodanig omknutselen, dat functies niet van zichzelf afhangen?

Th.B

Grove uiteenzetting van wat volgensmij de oplossing is:

Er zit een bepaalde symmetrie in de vergelijkingen,nl

dy/dt = -dx/dt en dus y(t) = - x(t) (op een constante na, wellicht)

Als je dit invult in de onderste vgl. krijg je:

dx/dt = 3(x(t))²

Kun je de juiste macht van t vinden die aan dit type vergelijking voldoet?

lucca

Wat je wilt aangeven is dus: Wat er bij y bijkomt, gaat er bij x af.

Lijkt me o.k.

en je zegt, de oplossing is iets als y(t) = -x(t) ;

dus

dx/dt = - x * y ==> dx/dt = - x(t) * -x(t) = (x(t))^2

Maar ik zie niet in welke macht van t?? ik moet vinden nu. hopelijk kun je helpen

Th.B

dx/dt = 3(x(t))² dus als je dan x(t) = c t^-1 neemt (dat bedoelde ik met juiste macht van t) krijg je:

-c t^-2 = 3 c²t^-2 dus c = -1/3 en je functies zijn dus

x(t) = (3t)^-1 en y(t) = -(3t)^-1

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] differentiaal

differentiaal

Re: differentiaal

Re: differentiaal

Re: differentiaal

Re: differentiaal