Moderators: dirkwb, Xilvo
-
- Berichten: 18
l.s.,
wat ik gevonden heb is een reeks met daarin alleen priemgetallen die volgens mij convergeert naar 1/4 e.
Is er iemand die al ooit eerder zo'n reeks heeft gevonden?
M.v.g.,
John57
Opmerking moderator
Voor de overzichtelijkheid is dit bericht afgesplitst naar een nieuw onderwerp
-
- Berichten: 10.561
Het zou handig zijn als je de reeks geeft, en aangeeft op welke manier deze convergeert.
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
-
- Berichten: 5.609
John57 schreef: ↑ma 06 mei 2013, 22:18
Is er iemand die al ooit eerder zo'n reeks heeft gevonden?
Zo zijn er heel erg veel reeksen, neem bijvoorbeeld h
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Prime_zeta_function#Specific_valuesWhat it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-
-
- Berichten: 4.320
John57 schreef: ↑ma 06 mei 2013, 22:18
l.s.,
wat ik gevonden heb is een reeks met daarin alleen priemgetallen die volgens mij convergeert naar 1/4 e.
Is er iemand die al ooit eerder zo'n reeks heeft gevonden?
M.v.g.,
John57
Opmerking moderator
Voor de overzichtelijkheid is dit bericht afgesplitst naar een nieuw onderwerp
Hoe zitten die priemen daarin verwerkt, ze botweg optellen convergeert niet.
De reciproken optellen convergeert ook niet.
Wat wel convergeert is de laatste te laten alterneren, bedoel je misschien die reeks?
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 18
Het is een beetje lastig maar hier onder staat de reeks. Overgenomen uit een exelsheet.
Uiteraard hoort de inverse genomen te worden. +1-1/3+1/5-1/7-1/13 enz.. De reeks is asymetirsch.
Kunnen jullie hier iets mee?
Welke formule beschrijft deze reeks? Volgens mij is dit 1/4e.
1
-3
5
-7
-13
17
23
-29
-37
47
-53
67
73
-79
-89
103
-113
127
-139
-151
157
-173
-181
197
227
233
-239
-251
257
269
-311
-317
347
-349
379
-383
401
-421
-433
449
-463
467
-503
-
- Berichten: 10.561
Welke formule de reeks beschrijft kun je waarschijnlijk beter zelf vertellen. Jij weet als enige waar de minnetjes en de plusjes vandaan komen.
Verder:
e/4 is gelijk aan 0.6796
De reeks die je hier geeft is, tot aan het priemgetal 503, gelijk aan 0.6897
Een verschil dus van 0.01, terwijl de verandering van je reeks kleiner dan 0.002 zal zijn. Kan me niet zo goed voorstellen hoe dat nog naar e/4 moet convergeren.
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
-
- Berichten: 5.609
Misschien een interessantere vraag: zou je ieder reëel getal willekeurig dicht kunnen benaderen, met een reeks van reciproke priemgetallen waarbij je het teken kan kiezen?
Iemand die het antwoord weet?
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-
-
317070 schreef: ↑wo 08 mei 2013, 14:29
Misschien een interessantere vraag: zou je ieder reëel getal willekeurig dicht kunnen benaderen, met een reeks van reciproke priemgetallen waarbij je het teken kan kiezen?
Iemand die het antwoord weet?
Even voor de duidelijkheid: bedoel je deze reeks?
\( \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{s_i}{p_i} \)
met s
i het i-de teken (oftewel ±1) en p
i het i-de priemgetal.
-
- Berichten: 10.561
Dat is zeker een interessante vraag. Ik vermoed van wel. Dit is in tegenspraak met mijn uitspraak in bericht #6 maar die had betrekking op een reeks die schijnbaar willekeurig afwisselende plussen en minnen had.
Waarom ik vermoed dat het in zijn algeemheid wel kan (houtje-touwtje uitleg):
Gezien de som van de reciproken niet convergeert kan ik dus willekeurig grote getallen construeren door een willekeurig gedeelte uit de reeks op te tellen. Ik kan dus net zo lang optellen totdat de som groter is dan het getal waar ik naar op zoek ben. De daaropvolgende reciproken trek ik net zo lang af totdat ik een waarde vind die kleiner is dan het gezochte getal. Daarna ga ik weer optellen, enzovoort.
Op deze manier convergeert het enorm langzaam, maar het convergeert wel.
Klopt deze redeneertrant een beetje? (met andere woorden, rammelt het maar is een en ander met wat wiskundig duct-tape op te lossen? Of rammelt het aan alle kanten?)
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
-
@ Marko
Dat had ik ook net bedacht.
Het lijkt mij dat het klopt. Essentieel is dat de oorspronkelijke reeks (met positieve omgekeerden) naar plus oneindig moet divergeren. Dat geldt dan ook voor de reeks die je krijgt door een eindig aantal termen uit het begin van de reeks weg te laten. Met de termen die je overhoudt kan je dus door het afwisselend kiezen van plussen of minnen met de partiële som steeds net boven of net onder het te benaderen getal uitkomen. Omdat je er niet meer dan de absolute grootte van de laatst toegepaste term naast kan zitten convergeert de zo geconstrueerde reeks inderdaad naar het te benaderen getal.
-
- Berichten: 10.179
Marko schreef: ↑wo 08 mei 2013, 16:10
Klopt deze redeneertrant een beetje?
Die klopt volledig (en je redenering uitschrijven is je bewijs + constructie). Het is ook een manier die vaak wordt gebruikt om te zeggen dat je bij een oneindige som plaatsen niet zomaar van plaats moogt wisselen.
Dat werkt dus voor werkelijk elke (oneindige) reeks getallen die je maar kunt bedenken.
-
- Berichten: 4.320
Ergens klopt er iets niet of beter er is iets niet vermeld denk ik.
Immers de gevonden waarden zouden als het ware om een zekere band om het te vinden getal kunnen heen springen en de randen van de band steeds dichter naderen.
Dat is natuurlijk zeer onwaarschijnlijk maar er moet wel naar gekeken worden.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
@ tempelier
Bartjes schreef: ↑wo 08 mei 2013, 16:37
Omdat je er niet meer dan de absolute grootte van de laatst toegepaste term naast kan zitten convergeert de zo geconstrueerde reeks inderdaad naar het te benaderen getal.
-
- Berichten: 4.320
Bartjes schreef: ↑do 09 mei 2013, 12:21
@ tempelier
Dat geldt voor een alternerende reeks, maar daar wordt dacht ik niet van uit gegaan.
Ik begreep dat men uit ging van de som van de reciproken van de priemen reeks want er wordt vermeld dat de reeks niet convergeert.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
317070 schreef: ↑wo 08 mei 2013, 14:29
Misschien een interessantere vraag: zou je ieder reëel getal willekeurig dicht kunnen benaderen, met een reeks van reciproke priemgetallen waarbij je het teken kan kiezen?
Hier zijn we op voort aan het borduren.
