z: R+ -> R: t |-> z(t) (met z(t) ≤ 100)
z'(t) = 1/2 - (1/200).z(t) (1)
z(0) = 0"
Ik heb geprobeerd deze als volgt op te lossen:
We kunnen (1) herschrijven als:
\( \frac {200}{100 - z(t)}.z't) = 1 \)
Vervolgens integreren we beide leden:\( \int \frac {200}{100 - z(t)} dz = \int 1 dt \)
200.ln|100 - z(t)| = t + C (met c ∈ R)ln|100 - z(t)| =
\( \frac {t + C}{200} \)
Nu volgt uit de opgave dat z(t) ≤ 100. Hieruit volgt datln|100 - z(t)| = ln(100 - z(t)). Dus:
ln(100 - z(t)) =
\( \frac {t + C}{200} \)
Wanneer we op beiden leden exp toe passen vinden we:100 - z(t) =
\( e^{\frac {t + C}{200}} \)
z(t) = \( 100 - e^{\frac {t + C}{200}} \)
uit de beginvoorwaarde volgt:z(0) = 0 =
\( 100 - e^{\frac {C}{200}} \)
100 = \( e^{\frac {C}{200}} \)
Hieruit volgt dat:z(t) =
\( 100.(1 - e^{\frac {t}{200}}) \)
Dit zou echter het volgende moeten zijnz(t) =
\( 100.(1 - e^{\frac {-t}{200}}) \)
Kan iemand mij vertellen waarom dit '-t' is i.p.v. 't' ?
