De continuümhypothese

Bartjes

Ik ben toe aan een nieuwe uitdaging. Dit keer ga ik mij verder verdiepen in de continuümhypothese:

http://en.wikipedia....nuum_hypothesis

Wat ik wil proberen is de continuümhypothese te beslissen door middel van een redenering die uitgaat van een intuïtief aansprekend verzamelingenbegrip dat bij axiomatisatie een uitbreiding vormt van het systeem ZFC:

http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory

De kans dat dit gaat lukken is minimaal, maar we zullen er onderweg waarschijnlijk heel veel van opsteken.

Mogelijk dat dit topic beter past binnen Theorieontwikkeling? Ik heb er geen bezwaar tegen wanneer het daarheen verplaatst wordt, maar omdat ik op dit moment nog niet weet waar mijn zoektocht naar leidt en ik vooral vragen heb, ben ik toch maar in het reguliere deel van het Wetenschapsforum begonnen.

tempelier

Ik weet niet precies waar je heen wilt.

Maar bewezen is dat als aangenomen wordt dat de (oneindige) kardinaal getallen een continuüm zijn dat dit niet leidt tor een contradictie.

Maar ook is aangetoond dat de tegenovergestelde aanname dat ook niet doet.

Bartjes

tempelier schreef: ↑di 28 mei 2013, 21:31
Ik weet niet precies waar je heen wilt.

Maar bewezen is dat als aangenomen wordt dat de (oneindige) kardinaal getallen een continuüm zijn dat dit niet leidt tor een contradictie.

Maar ook is aangetoond dat de tegenovergestelde aanname dat ook niet doet.

Je bedoelt de continuümhypothese uitgaande van ZFC? Je kan het inderdaad daarbij laten en concluderen dat we naar believen mogen aannemen dat de continuümhypothese waar of onwaar is. Maar het is ook mogelijk te zoeken naar een uitgebreider (maar intuïtief even aansprekend) systeem dan ZFC dat de continuümhypothese wel beslist. Die laatste aanpak heeft mijn voorkeur.

Het eerste dat ik mij afvraag is of er ook kwesties uit de theoretische natuurkunde zijn waarvan de uitkomst van een beslissing van de continuümhypothese afhangt. In dat geval zouden we een "experimentele oplossing" kunnen vinden, wat dan weer tot nieuwe wiskundige ideeën zou kunnen leiden. Iets in deze geest?

http://www.wetenscha...post__p__956735

PS: De hieronder gegeven omschrijving van de continuümhypothese vind ik persoonlijk het duidelijkst:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Continu%C3%BCmhypothese

317070

Maar het is ook mogelijk te zoeken naar een uitgebreider (maar intuïtief even aansprekend) systeem dan ZFC dat de continuümhypothese wel beslist. Die laatste aanpak heeft mijn voorkeur.

Ja, dat noemen we "ZFC+continuüm". Binnen dat stelsel kun je de axioma's wat rondschuiven, maar uiteindelijk kom je steeds hetzelfde uit met dezelfde stellingen. Het enige verschil bij het rondschuiven is wat er axioma is en wat stelling.

Bartjes

317070 schreef: ↑wo 29 mei 2013, 01:46
Ja, dat noemen we "ZFC+continuüm". Binnen dat stelsel kun je de axioma's wat rondschuiven, maar uiteindelijk kom je steeds hetzelfde uit met dezelfde stellingen. Het enige verschil bij het rondschuiven is wat er axioma is en wat stelling.

De continuümhypothese is niet evident. Anders had men die hypothese inderdaad gewoon als extra axioma aan de rest van de axioma's kunnen toevoegen, en klaar is Kees. - Of begrijp ik je verkeerd?

317070

De continuümhypothese is niet evident. Anders had men die hypothese inderdaad gewoon als extra axioma aan de rest van de axioma's kunnen toevoegen, en klaar is Kees.

Waarom moet een axioma evident zijn? Je begrijpt me juist, uiteindelijk heeft men die hypothese toegevoegd als extra axioma. (zijn tegengestelde trouwens ook) Kees was inderdaad klaar. In beide gevallen kun je verder stellingen bouwen en de wiskunde uitbreiden.

Math-E-Mad-X

Bartjes schreef: ↑di 28 mei 2013, 21:46
Het eerste dat ik mij afvraag is of er ook kwesties uit de theoretische natuurkunde zijn waarvan de uitkomst van een beslissing van de continuümhypothese afhangt. In dat geval zouden we een "experimentele oplossing" kunnen vinden, wat dan weer tot nieuwe wiskundige ideeën zou kunnen leiden.

Een hele interessante gedachte, maar ik vrees dat de (experimentele) natuurkunde nooit antwoord op dit soort vragen zal kunnen bieden.

Het probleem is dat eigenlijk alles in de natuurkunde aftelbaar is. Dat klinkt misschien raar omdat we ons de ruimte en de tijd als continu voorstellen, maar je moet je bedenken dat ieder meetinstrument uiteindelijk slechts een eindig aantal verschillende resultaten kan weergeven. En daarmee is het totale aantal metingen dat je met welk meetinstrument dan ook ooit zou kunnen doen aftelbaar.

Ik kan me dus niet voorstellen (maar ik kan me vergissen) dat het mogelijk is om een natuurkundig onderscheid te maken tussen een 'heelal met CH' en een 'heelal zonder CH'.

Bartjes

317070 schreef: ↑wo 29 mei 2013, 15:26
Waarom moet een axioma evident zijn? Je begrijpt me juist, uiteindelijk heeft men die hypothese toegevoegd als extra axioma. (zijn tegengestelde trouwens ook) Kees was inderdaad klaar. In beide gevallen kun je verder stellingen bouwen en de wiskunde uitbreiden.

Axioma's hoeven niet evident te zijn. Je kan de wiskunde inderdaad opvatten als een betekenisloos formeel spel. Of eventueel als een geheel van uitspraken dat van toepassing is op al datgene dat bij een zekere interpretatie aan de axioma's voldoet. De mensen die zich druk maken over de continuümhypothese zien dat echter anders. Ook hun "platonische visie" vormt een legitiem gezichtspunt. Zij beschouwen de verzamelingenleer als een theorie aangaande zekere ideëel bestaande zaken (te weten “verzamelingen”), met gevolg dat de axioma's ook niet meer vrijelijk gekozen kunnen worden.

Ik zie het zo:

De verzameling

\( \mathcal{P}(\mathbb{R}) \)

van alle deelverzamelingen van de verzameling der reële getallen

\( \mathbb{R} \)

bestaat. Nu kunnen we alle verzamelingen X uit

\( \mathcal{P}(\mathbb{R}) \)

bekijken die de verzameling

\( \mathbb{N} \)

der natuurlijke getallen omvatten. De continuümhypothese zegt dan dat er onder die verzamelingen X géén voorkomen die én niet gelijkmachtig zijn aan

\( \mathbb{N} \)

én ook niet gelijkmachtig zijn aan

\( \mathbb{R} \)

. Ik zie verzamelingen als ideële dingen, en daarom moet bovenstaande consequentie van de continuümhypothese wel of niet waar zijn. Dat kan in deze visie niet meer vrijelijk per axioma vastgelegd worden. Aan de verzamelingenleer de taak uit te vogelen of de continuümhypothese waar of onwaar is. Dat de bekende axioma's niet volstaan om deze kwestie te beslissen betekent (in de platonische visie) slechts dat die axioma's het verzamelingenbegrip nog niet scherp genoeg omschrijven.

Bartjes

@ Math-E-Mad-X

We zouden gebruik moeten maken van situaties waarbij infinitesimale verschillen grote (en meetbare) consequenties hebben.

Ook is er wellicht een koppeling met de maattheorie waarin de machtigheid van (punt)verzamelingen een rol speelt.

Math-E-Mad-X

Bartjes schreef: ↑wo 29 mei 2013, 17:30
@ Math-E-Mad-X

We zouden gebruik moeten maken van situaties waarbij infinitesimale verschillen grote (en meetbare) consequenties hebben.

Ook is er wellicht een koppeling met de maattheorie waarin de machtigheid van (punt)verzamelingen een rol speelt.

Het probleem is dat je moet aantonen dat de oorzaak inderdaad iets infinitesimaals was. Maar dat kan simpelweg niet, omdat je meetapparatuur altijd een eindig bereik heeft.

Ik bedoel: zowel de input als de output van een experiment moet gemeten worden.

Bartjes

Math-E-Mad-X schreef: ↑wo 29 mei 2013, 17:35
Het probleem is dat je moet aantonen dat de oorzaak inderdaad iets infinitesimaals was. Maar dat kan simpelweg niet, omdat je meetapparatuur altijd een eindig bereik heeft.

Ik bedoel: zowel de input als de output van een experiment moet gemeten worden.

Dat is nog maar de vraag. Je zou moeten zoeken naar systemen die kwalitatief verschillende effecten laten zien afhankelijk van de vraag of de CH (toegepast op ruimte en/of tijd en/of waarschijnlijkheid, etc.) waar of onwaar is. Het meten heeft dan meer een ja/nee karakter, en de precisie wordt betrekkelijk irrelevant.

Wel zal de bruikbaarheid van de conclusie wellicht afhangen van de vraag of bijvoorbeeld elektronen echt puntdeeltjes zijn.

Math-E-Mad-X

Bartjes schreef: ↑wo 29 mei 2013, 17:56
Wel zal de bruikbaarheid van de conclusie wellicht afhangen van de vraag of bijvoorbeeld elektronen echt puntdeeltjes zijn.

Zelfs als elektronen puntdeeltjes zijn, dan nog kunnen we hun plaats slechts met eindige precisie bepalen, dus zijn er slechts een aftelbaar aantal mogelijk meetbare posities voor het elektron.

Stel dat we de positie van een puntdeeltje langs de x-as willen bepalen. De vraag of de exacte positie een irrationaal getal kan zijn, is geen wetenschappelijke maar een filosofische vraag, omdat we dat per definitie niet kunnen meten. Iedere meting zal een rationaal getal geven.

Bartjes

Math-E-Mad-X schreef: ↑wo 29 mei 2013, 18:10
Zelfs als elektronen puntdeeltjes zijn, dan nog kunnen we hun plaats slechts met eindige precisie bepalen, dus zijn er slechts een aftelbaar aantal mogelijk meetbare posities voor het elektron.

Stel dat we de positie van een puntdeeltje langs de x-as willen bepalen. De vraag of de exacte positie een irrationaal getal kan zijn, is geen wetenschappelijke maar een filosofische vraag, omdat we dat per definitie niet kunnen meten. Iedere meting zal een rationaal getal geven.

Het is ook helemaal niet de bedoeling de exacte positie van een (punt)deeltje te meten. Wat ik zoek is een systeem dat een duidelijk verschillend gedrag vertoont afhankelijk van de juistheid of onjuistheid van CH. Bijvoorbeeld: voor de CH is waar oscilleert het systeem, en voor de CH is onwaar komt het systeem na een kort inschakelverschijnsel tot rust.

Inmiddels ben ik op internet wat verwijzingen met betrekking tot een verband tussen de CH en Feynman integralen tegengekomen. Nu heb ik daar niet genoeg verstand van om zin en onzin te kunnen onderscheiden. Ik gebruik dit dus enkel als voorbeeld! Stel eens dat je zou kunnen bewijzen dat Feynman integralen alleen wiskundig exact gemaakt kunnen worden wanneer de CH waar is. Dan zou dat voor mij een (stevige) aanwijzing zijn om de CH voor waar te houden. Wellicht zou een verdere bestudering van die theorie dan ook een evident extra axioma opleveren waaruit de CH netjes wiskundig kan worden bewezen.

Math-E-Mad-X

Wat ik bedoel te zeggen, is dat in het geval van het elektron we het systeem zowel met de rationale getallen (Q) als met de reële getallen (R) kunnen beschrijven. We kiezen alleen meestal R omdat dat eenvoudiger is. Maar aangezien beide keuzes fysisch equivalent zijn kan het feit dat R een grotere kardinaliteit heeft geen rol spelen.

Mijn intuïtie zegt mij dat we dit helemaal kunnen doortrekken naar de volledige natuurkunde. Er bestaat geen enkel natuurkundig systeem met oneindig veel toestanden waarvan de kardinaliteit fysisch uit kan maken, en dus zullen we nooit kunnen testen of de CH fysisch gezien correct is of niet.

Anyway, dit blijft natuurlijk slechts speculeren. Als je een concreet tegenvoorbeeld weet zou ik zeer geïnteresseerd zijn.

Bartjes

De theorie van de reële getallen is vooral bedacht om de differentiaal- en integraalrekening van een rigoureus fundament te voorzien. Als je alleen rationale getallen zou gebruiken krijg je grote problemen.

Hetzelfde geldt in de mathematische fysica voor de continuïteit van ruimte en tijd. De banen van deeltjes zullen vol met gaten komen te zitten als je alleen rationale tijden en plaatsen accepteert, en sommige snelheden en versnellingen zullen niet eens gedefinieerd zijn (in het geval zij een irrationale waarde hebben). Dat gaat dus knarsen en kraken met de natuurwetten.

Mogelijk dat er via de constructivistische benadering van de wiskunde nog wel een mouw aan te passen is, maar dat zal dan allemaal zeer gekunsteld worden.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

De continuümhypothese

De continu

Re: De continu

Re: De continu

Re: De continu

Re: De continu

Re: De continu

Re: De continu

Re: De continu

Re: De continu

Re: De continu

Re: De continu

Re: De continu

Re: De continu

Re: De continu

Re: De continu