Plaatjes gezocht van oplossingen DV

Bartjes

In een ander topic ben ik vastgelopen op het tekenen van de oplossingen van een differentiaalvergelijking voor een aantal waarden van een daarin voorkomende constante c.

Dit is het topic:

http://www.wetenscha...-chain-fenomeen

En dit zijn mijn relevante berichtjes:

Bartjes schreef: ↑zo 14 jul 2013, 08:28
De oplossing van de hieronderstaande zuiver wiskundige (want dimensieloze) differentiaalvergelijking (*) die als beginpunt (u,z) = (0,0) heeft, die met een positieve afgeleide dz/du start en als positieve constante c bevat schrijven we als z = boog(u;c) :

\( \left ( \frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )^2 \, = \, \left ( c^2 \, + \, 1 \right ) . (1 - z)^2 \,\, - \,\, 1 \,\,\,\, (^*) \)

Bartjes schreef: ↑ma 15 jul 2013, 11:55
Ik heb niet de middelen om het gevraagde plaatje (voor bijvoorbeeld c = 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4 en 8) te maken. Ook op het internet vond ik geen makkelijke tool om dat voor elkaar te krijgen. Wie weet raad?

Je kan die differentiaalvergelijking splitsen in twee wortels voor respectievelijk de opgaande en neergaande flank van de grafiek. Met een sign-functie kunnen die dan weer aan elkaar geplakt worden.

Hoe dan ook, de numerieke programmatjes die ik op internet vond lopen steeds vast in de top.

Om eens wat goeds in huis te halen heb ik vervolgens onderstaande programma geïnstalleerd:

http://nl.wikipedia....er_math_toolbox

Maar dat is een studie op zich, zodat het mij daarmee ook nog niet gelukt is.

Wie weet een eenvoudige oplossing?

Axioma91

Als je de oplossing hebt, dan kun je die in Matlab stoppen. Je kunt er ook voor kiezen om de DV numeriek op te lossen, maar dat is misschien niet nodig. Als je geen Matlab hebt, dan kun je de functie die je geplot wilt hebben hier posten, dan kijk ik of het me lukt (mits gewenst).

Marko

Wolfram Alpha? Dit is de oplossing voor dz/du < 0:

\(z(u)=\frac{c^2 e^{\sqrt{c^2+1} u-\sqrt{c^2+1} k_1}+e^{\sqrt{c^2+1} u-\sqrt{c^2+1} k_1}+e^{\sqrt{c^2+1} k_1-\sqrt{c^2+1} u}+2 \left(c^2+1\right)}{2\left(c^2+1\right)}\)

De oplossing voor dz/du > 0 vind je op analoge wijze

Bartjes

Met het afleiden van een formule voor de grafiek ben ik gestopt omdat die zo ingewikkeld is dat je daar niets meer aan ziet. Best mogelijk dat die uitkomst van WolframAlpha klopt. Verder moet de integratieconstante daarin nog bepaald worden.

Wellicht moeten we van die formule dan maar een plaatje maken?

Bartjes

: dvboog1.GIF (13.67 KiB) 654 keer bekeken

: dvboog2.GIF (15.33 KiB) 662 keer bekeken

: dvboog3.GIF (15.9 KiB) 655 keer bekeken

Ziehier mijn probeersels met Euler Math Toolbox.

Om te beginnen heb ik c=1 gekozen. De absolute waarde onder de wortel is toegevoegd om foutmeldigen te voorkomen. Eerst heb ik de opwaartse flank laten tekenen. Daaruit heb ik x_topgeschat, dat komt op ca. 0,6. En vervolgens heb ik het plaatje van de boog-functie met behulp van de sign-functie compleet gemaakt.

Lijkt dit ergens naar?

Bartjes

Met onderstaande opdrachten voor Euler Math Toolbox kom ik een heel eind:

Code: Selecteer alles


c:=C; p:=P; vectorfield("sign(p-x)*sqrt( abs( ( c^2 +1)*( 1 - y)^2 - 1 ) )",0,3,-1.5,1.5):

t=0:0.01:3; c:=C;  p:=P; s=runge("sign(p-x)*sqrt( abs( ( c^2 +1)*( 1 - y)^2 - 1 ) )",t,0); plot2d(t,s,add=1);  plot2d(0,0,>points,>add):

Kies daarin C en bepaal vervolgens P zodat de opgaande en neergaande flank mooi op elkaar aansluiten. Voorbeeldje van een resultaat:

: c1.png (30.48 KiB) 644 keer bekeken

Nog mooier zou zijn wanneer we p (=x_top) in c konden uitdrukken. De plaats van de top is uit het plaatje immers niet zo nauwkeurig vast te stellen.

Bartjes

Gelukt:

http://www.wetenscha...post__p__967053

De formule om p (=x_top) in c uit te drukken is:

\( u_{top} \, = \, \frac{\ln \left ( c + \sqrt{c^2 + 1} \right )}{ \sqrt{c^2 + 1} } \,\,\,\,\,\,\,\, ( \nu ) \)

.

Bedenk hierbij dat het programma x en y i.p.v. u en z gebruikt. De opdrachten die we nu voor Euler Math Toolbox kunnen gebruiken zijn:

c:=C; p:=( ln( c + sqrt( c^2 + 1) ))/(sqrt( c^2 + 1) ) ; vectorfield("sign(p-x)*sqrt( abs( ( c^2 +1)*( 1 - y)^2 - 1 ) )",0,3,-1.5,1.5):

t=0:0.01:3; c:=C; p:=( ln( c + sqrt( c^2 + 1) ))/(sqrt( c^2 + 1) ) ; s=runge("sign(p-x)*sqrt( abs( ( c^2 +1)*( 1 - y)^2 - 1 ) )",t,0); plot2d(t,s,add=1); plot2d(0,0,>points,>add):

Daarmee kunnen we dan grafiekjes van de boogfunctie voor gekozen waarden C van c tekenen.

Voor c tussen ca. 10^-7 en 150 komen er fraaie plaatjes uit.

Bartjes

Nog mooier worden de plaatjes voor een iets andere schaal:

c:=C; p:=( ln( c + sqrt( c^2 + 1) ))/(sqrt( c^2 + 1) ) ; vectorfield("sign(p-x)*sqrt( abs( ( c^2 +1)*( 1 - y)^2 - 1 ) )",0,2,-1,1):

t=0:0.01:3; c:=C; p:=( ln( c + sqrt( c^2 + 1) ))/(sqrt( c^2 + 1) ) ; s=runge("sign(p-x)*sqrt( abs( ( c^2 +1)*( 1 - y)^2 - 1 ) )",t,0); plot2d(t,s,add=1); plot2d(0,0,>points,>add):

Zo vinden we dan:

c = 0,001

: c-is-0.001.png (26.9 KiB) 644 keer bekeken

c = 0,01

: c-is-0.01.png (26.85 KiB) 644 keer bekeken

c = 0.1

: c-is-0.1.png (26.75 KiB) 646 keer bekeken

c = 1

: c-is-1.png (31.46 KiB) 645 keer bekeken

c = 5

: c-is-5.png (32.76 KiB) 645 keer bekeken

c = 10

: c-is-10.png (31.46 KiB) 644 keer bekeken

c = 100

: c-is-100.png (26.08 KiB) 644 keer bekeken

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Plaatjes gezocht van oplossingen DV

Plaatjes gezocht van oplossingen DV

Re: Plaatjes gezocht van oplossingen DV

Re: Plaatjes gezocht van oplossingen DV

Re: Plaatjes gezocht van oplossingen DV

Re: Plaatjes gezocht van oplossingen DV

Re: Plaatjes gezocht van oplossingen DV

Re: Plaatjes gezocht van oplossingen DV

Re: Plaatjes gezocht van oplossingen DV