1ste orde Differentiaalvergelijking

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 22-08-'13, 17:34

elbartje

Berichten: 144

1ste orde Differentiaalvergelijking

Ik heb een vraagje bij deze differentiaalvergelijking:
\( y'(x) = -sin(x) .y(x) \)
Herschrijven als:
\( \frac{dy(x)}{dx} = -sin(x) . y(x)\)
\( \frac{dy(x)}{y(x)} = -sin(x) . y(x) . dx\)
\( \int \frac{dy(x)}{y(x)} = cos(x) +cte\)
Wat ben ik nu eigelijk met deze laatste vorm ?

Moet ik die integraal nog uitwerken, zo ja hoe moet je dat doen ?

Krijg je dan zoiets:
\( \int \frac{(x)}{y(x) } . dy\)
Maar wat met die (x) ?
Omhoog

Bericht 22-08-'13, 17:45

Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 11.177

Re: 1ste orde Differentiaalvergelijking

Als ik zeg dat links nu 1/y dy staat, wat is dan de primitieve van 1/y?
Omhoog

Bericht 22-08-'13, 18:42

elbartje

Berichten: 144

Re: 1ste orde Differentiaalvergelijking

(x)/(x) gewoon wegdelen dus

Als ik dan verder reken:

e^(ln(x)) =e ^(cos(x)) +cte

y= e ^(cos(x)) +cte maar moet dit niet worden;

y(x) = e ^(cos(x)) +cte

of maakt dat niet uit ?
Omhoog

Bericht 22-08-'13, 19:27

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: 1ste orde Differentiaalvergelijking

elbartje schreef: ↑do 22 aug 2013, 18:42
(x)/(x) gewoon wegdelen dus
Dat zeker niet... Je y is een functie van x. Dat is wat men bedoelt met y(x). Niet meer, niet minder. Maar verkort noteer je gewoon 1/y dy. Begrijp je dit wat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 22-08-'13, 19:36

elbartje

Berichten: 144

Re: 1ste orde Differentiaalvergelijking

ok, dus y(x) = y

Maar dan krijg je dit:
\(\int \frac{(x)}{y} . dy\)
=
\((x)} ln(y)\)
Hoe raak je nu van die (x) af ?
Omhoog

Bericht 22-08-'13, 20:39

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: 1ste orde Differentiaalvergelijking

Nee... Als ik je zeg dat y(x) gewoon notatie is, dan kun je iets als dy(x) natuurlijk niet schrijven als (x) dy hè... Dat blijft gewoon dy(x). Die (x) duidt gewoon op het feit dat je y een functie van x is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 23-08-'13, 09:07

elbartje

Berichten: 144

Re: 1ste orde Differentiaalvergelijking

ok ik denk dat ik het snap:
\( \int \frac{1}{y(x) } . dy(x)\)
=
\( \int \frac{1}{y } . dy\)
\( ln(y(x)) \)
=
\( ln(y) \)
Omhoog

Bericht 23-08-'13, 09:35

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: 1ste orde Differentiaalvergelijking

elbartje schreef: ↑do 22 aug 2013, 17:34
\( \frac{dy(x)}{dx} = -sin(x) . y(x)\)
\( \int \frac{dy(x)}{y(x)} = cos(x) +cte\)
Als je hier y(x) vervangt door y, wat krijg je dan?

Je fout zit hier:
\( \int \frac{(x)}{y(x) } . dy\)
Maar wat met die (x) ?
Het lijkt alsof je y(x) opvat als een product van y en (x), terwijl bv y(x)=x^2-3x kan voorstellen ...
Omhoog

Bericht 23-08-'13, 11:30

elbartje

Berichten: 144

Re: 1ste orde Differentiaalvergelijking

hmm ik maak toch nog een fout, of heb je de 7de post niet gezien ?
Safe schreef: ↑vr 23 aug 2013, 09:35
Als je hier y(x) vervangt door y, wat krijg je dan?
\( \int \frac{1}{y} . dy\)
Omhoog

Bericht 23-08-'13, 12:29

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: 1ste orde Differentiaalvergelijking

elbartje schreef: ↑vr 23 aug 2013, 11:30
hmm ik maak toch nog een fout, of heb je de 7de post niet gezien ?
\( \int \frac{1}{y} . dy\)
Ok, ja post 7 niet gezien, ik vroeg me af hoe je tot de aangegeven fout komt ...

Bovendien: jij stelt: je laat (x) weg.

Ik noteer: je vervangt y(x) door y. Is er verschil naar jouw idee ...
Omhoog

Bericht 23-08-'13, 13:02

elbartje

Berichten: 144

Re: 1ste orde Differentiaalvergelijking

Nee ik denk niet dat er een verschil is.

Enkel misschien in deze context

y(x)= x+z -> z is hier een constante

y=x+z -> we weten niet wie de constante is
Omhoog

Bericht 23-08-'13, 15:02

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: 1ste orde Differentiaalvergelijking

Stel dat er y(t) had gestaan, wat weet je dan? En wat is je conclusie betreffende de opgave?
Omhoog

Bericht 23-08-'13, 20:39

elbartje

Berichten: 144

Re: 1ste orde Differentiaalvergelijking

y(t) = e^(cos(t)) +cte
Omhoog

Bericht 23-08-'13, 20:47

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: 1ste orde Differentiaalvergelijking

Wat je nu doet is alle x door t vervangen, dat is altijd geoorloofd, want er is dan niets veranderd.

Ik bedoelde echter dat y ipv afhankelijk van x afhankelijk van t is, terwijl sin(x) afh van x is ...

Je opgave zou dan zijn:

y'(t)=-sin(x)y(t)

Wat is nu je conclusie?
Omhoog

Bericht 24-08-'13, 08:45

elbartje

Berichten: 144

Re: 1ste orde Differentiaalvergelijking

y'(t)=-sin(x)y(t)
\( \frac{dy(t)}{dt} = -sin(x) . y(t) \)
\( \frac{1}{y(t)} dy(t) = -sin(x) . dt \)
\( ln(y(t)) = -sin(x) . t +cte \)
\( y(t) =c1. e^{-t sin(x)} \)
Zo iets zou ik zeggen
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”