In de bundel met herhalingsstof uit het middelbaar stond ook onderstaande oefening.
Ik heb een oplossing, maar zit met enkele vragen over deze oplossingsmethode.
De vraag luidt als volgt:
Los
\(x, y, z\)
op uit:\(\[\frac{y+z}{a}= \frac{x+z}{b}=\frac{x+y}{c} = xyz\]\)
Met \(a\not = 0, b\not = 0, c\not =0\)
gegeven.Ik heb een methode gevonden door het laatste deel eerst weg te laten en pas nadien als extra voorwaarde toe te voegen.
\( \)
- Ik splits de drie \( \frac{y+z}{a} = \frac{x+z}{b}=\frac{x+y}{c}\)op in 3 vergelijkingen en verkrijg:
1)\(ax -by +(a-b)z = 0 \)2)\( ax+(a-c)y-cz = 0\)3)\( (c-b)x - by +cz = 0\)Alvorens een matrix op te stellen maak ik wat combinaties van bovenstaande vergelijkingen (1-2; 1-3 en 2+3) Dit levert:
1)\( (-a-b+c)y + (a-b+c)z = 0 \)2)\( (a+b-c)x + (a-b-c)z = 0\)3)\( (a-b+c)x +(a-b-c)y = 0\)Ik merkte nogal wat gelijkaardige coëfficienten op en vatte deze samen in nieuwe onbekenden:
\( A=a-b+c\)\( B = a+b-c\)\( C = a-b-c\)(Waaruit ik bovendien opmerkte dat\( A+B = 2a\)) - Van bovenstaande vergelijkingen stel ik een matrix op waar ik Gaus-Jordan toepas:
\( \[ \left( {\array{cccc}{B & 0 & C & 0\\0 & -B & A & 0\\A & C & 0 & 0}} \right) \]\)Na dit uitwerken krijg ik het volgende stelsel (\( t\in \mathbb{R}\))
\(\[ \left\{\begin{array}{rcl}x & = & \frac{-C}{B}t\\ y & =& \frac{A}{B}t \\ z & =& t\end{array}\right.\] \) - Er is echter nog de extra voorwaarde \( = xyz\)Daarnet schreef ik dat\( A+B = 2a\)of\( \frac{A+B}{2} = a\)Ik werk met
\( \[\frac{y+z}{a}=xyz \]\)Door hier te substitueren krijg ik
\(\[ \frac{2(y+z)}{A+B} = xyz \] \)of\( 2(\frac{A}{B}t+t) = (A+B) \cdot \frac{-AC}{B^2}t^3\)Dit verder vereenvoudigen levert
\( \[t^2 = \frac{2B}{-AC}\]\)of\(t = \pm\sqrt{\frac{-2B}{AC}} \)Waardoor de voorwaarde bij het stelsel in 2. niet\( t \in \mathbb{R}\)zou zijn, maar de bovenstaande voorwaarde.
- Is dit een goede oplossing? Ergens heb ik een gevoel dat dit veel korter/efficienter kan...
- Hoe komt het dat het koppel (0,0,0) (onafhankelijk voor keuze a,b,c) niet uit de oplossing voor komt?
- Hoe kan ik zeker zijn dat hetgeen onder de wortel \( \sqrt{\frac{-2B}{AC}} \)steeds positief is?
