[wiskunde] Verschil van integreren x dx en x dt

RikH

Hallo, daar ben ik alweer met een vraag nadat ik gister en vanochtend zo goed ben geholpen. Hopelijk hebben anderen er later ook wat aan.

Ik kom het volgende tegen bij verschillende opgaven:

\( \int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C = \frac{x^2}{2} + C \)

\( \int x dt = k*t+C \)

Nou kan ik deze regel wel uit mijn hoofd leren, maar graag zou ik snappen wat hier nou eigenlijk bedoeld wordt, omdat dit een veelvoorkomende stap is in de berekeningen. Iemand een idee hoe ik dit moet lezen?

Fuzzwood

Staat er een functie van t in jouw 2e functie? Nee? Dan komt er door te integreren vanzelf een t in de functie. Met andere woorden: x = k

Als er nu xtdt had gestaan, dan was de functie 0.5xt² +C geworden.

aadkr

snap je de oplossing van die eerste integraal?

RikH

Allereerst zag ik een fout staan in mijn tweede vergelijking, maar dat hadden jullie ook al gezien:

\(\int x dt = k*t+C\)

[/color] moet natuurlijk zijn

\(\int x dt = x*t+C\)

[/color]

Fuzzwood schreef: ↑di 05 nov 2013, 18:49
Staat er een functie van t in jouw 2e functie? Nee? Dan komt er door te integreren vanzelf een t in de functie. Met andere woorden: x = k

Als er nu xtdt had gestaan, dan was de functie 0.5xt² +C geworden.

Dus als ik het goed begrijp voegt de dx in de eerste vergelijking niets toe? Ik bedenk me nu dat ik er vaker tegen aan loop dat ik niet weet hoe ik dit moet lezen. Zo lees bij '=>' altijd 'daar volgt uit' of bij bijvoorbeeld mechanica '

\(\sum Fy=0\)

' als 'som van alle krachten in de x-richting is gelijk aan nul'. Is dat in dit geval ook mogelijk?

Ook valt mij op dat de x helemaal niet wordt geïntegreerd, terwijl dit bij de bovenste vergelijking wel gebeurd. Dat dt integreerd naar t kan ik dan nog wel snappen, maar als dit er voor zorgt dat x weer niet geïntegreerd hoeft te worden dat kan ik niet volgen.

aadkr schreef: ↑di 05 nov 2013, 19:35
snap je de oplossing van die eerste integraal?

Ja, dat is geen probleem.

aadkr

komt die tweede integraal uit een opgave , zo ja, zou je de volledige opgave dan willen geven.

normaal is het zo bij die tweede opgave dat x als funktie van t bekend is.

Safe

dx in een integraal wil zeggen dat je integreert naar x, x is je integratievariabele.

Zegt je dit iets ...

Wat is dus de integratievariabele in je tweede integraal, wat wil dat zeggen voor x ...

RikH

aadkr schreef: ↑di 05 nov 2013, 22:36
komt die tweede integraal uit een opgave , zo ja, zou je de volledige opgave dan willen geven.

normaal is het zo bij die tweede opgave dat x als funktie van t bekend is.

In een voorbeeld wordt gegeven de gereduceerde vergelijking

\( \frac{dT}{dt}+kT=0 \)

en oplossing

\( T = Ce^{-kt} \)

. Ik heb vervolgens deze tussenstappen bedacht:

\( \frac{dT}{dt} = -k*T \)

\( \int \frac{dT}{T} = - \int k*dt \)

\( ln|T| = -k*t+C \)

\( T = De^{-kt} \)

Safe schreef: ↑di 05 nov 2013, 22:39
dx in een integraal wil zeggen dat je integreert naar x, x is je integratievariabele.

Zegt je dit iets ...

Wat is dus de integratievariabele in je tweede integraal, wat wil dat zeggen voor x ...

Zoeken naar integratievariabele heeft me al wel wat dingen opgeleverd, ga ik morgenochtend meteen mee verder.

Anton_v_U

Alternatieve manier om er naar te kijken, met getallenlijnen, grafieken en oppervlaktes.

Eerst maar eens kijken naar integratie tussen grenzen.

Als je integreert over x tel je eigenlijk op over de getallenlijn. De integraal van dx is Δx. Gewoon alle kleine stukjes dx opgeteld tussen de integratiegrenzen en dat is de lengte van het integratie interval.

Wat is de integraal van tdx? Je moet eerst een waarde voor t kiezen en dat vermenigvuldig je steeds met de stukjes dx. De uitkomst is tΔx. Omdat t niet van x afhangt, hoef je verder niet moeilijk te doen.

Wat is de integraal van xdx? Nu moet je oppassen. Je telt niet stukjes van de getallenlijn op, maar je vermenigvuldigt het stukje steeds met de waarde van x voordat je het optelt bij de rest. En de waarde van x is niet constant over de getallenlijn. Teken de grafiek y=x. In xdx stelt dx de lengte van een stukje langs de x-as voor en x is de hoogte van de grafiek (want y=x). Je vermenigvuldigt dus het stukje dx (horizontaal) met de hoogte x (verticaal) dus heb je het oppervlak onder de grafiek onder het stukje dx. Voor alle stukjes samen heb je dus het oppervlak onder de grafiek tussen de integratiegrenzen.

Hoe groot zijn de stukjes dx? Die zijn klein genoeg. Dat is zo klein dat het resultaat niet merkbaar verandert als je de stukjes nog kleiner maakt.

Nu snap je wellicht ook waarom de integraal van xdx waarbij x tussen 0 en t loopt gelijk is aan 1/2 t². Teken het maar en gebruik de regel dat het oppervlak van een driehoek gelijk is aan de basis x de hoogte x 1/2.

Het idee van de primitieve functie is eigenlijk een uitbreiding hier op. De notatie van een integraal zonder grenzen betekent de primitieve. Maar het is denk ik handig om eerst in een gewone integraal het verschil te zien tussen het optellen van tdx en het optellen van xdx.

RikH

Safe schreef: ↑di 05 nov 2013, 22:39
dx in een integraal wil zeggen dat je integreert naar x, x is je integratievariabele.

Zegt je dit iets ...

Wat is dus de integratievariabele in je tweede integraal, wat wil dat zeggen voor x ...

In de engelse wiki over de 'Integral' kwam ik de volgende zin tegen: "The dx indicates that we are integrating over x" dit ben ik nagegaan aan de hand van WolfraamAlpha:

\(
\int x = \int x dx = \frac{x^2}{2}+C

\int x dt = t * x + C

\int x t dt = \frac{t^2x}{2}+C \)

Dus de dx geeft aan dat er een x in de vergelijking geïntegreerd moet worden, staat er geen x, dan komt er wel één omdat

\( \int 1 dx = x \)

. Staan er naast de x andere variabelen in de vergelijking dan hoeven deze niet geïntegreerd te worden, want de dx zegt dat er geïntegreerd moet worden over x. Het is weer duidelijk, bedankt Safe. Bedankt Anton_v_U.

Safe

Mooi, dat heb je door!

Maar heb je, toen je leerde differentiëren, niet geleerd dat je differentieert naar een variabele (bv x)?

Dus als je integreert ...

Als je een dv (diff verg) oplost, wat zoek je dan ...

RikH

Safe schreef: ↑wo 06 nov 2013, 11:23
Mooi, dat heb je door!

Maar heb je, toen je leerde differentiëren, niet geleerd dat je differentieert naar een variabele (bv x)?

Dus als je integreert ...

Als je een dv (diff verg) oplost, wat zoek je dan ...

Waarschijnlijk heb ik dat wel geleerd, maar aangezien er elke keer maar één variabele in de vergelijking voorkwam is mij niet opgevallen dat je differentieert naar één variabele.

Als je een DV oplost ben je op zoek naar de vergelijking met de vorm y = ...

Safe

RikH schreef: ↑wo 06 nov 2013, 11:32
Als je een DV oplost ben je op zoek naar de vergelijking met de vorm y = ...

Bijna, de opl verz zijn relaties in de variabelen. Bv, dy/dx=-x/y.

Voordat je deze verg oplost is het (misschien) nuttig om je een voorstelling te maken van 'het richtingsveld' in het xy-assenstelsel. Als je niet weet wat ik bedoel, geef je dat aan ...

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Verschil van integreren x dx en x dt

Verschil van integreren x dx en x dt

Re: Verschil van integreren x dx en x dt

Re: Verschil van integreren x dx en x dt

Re: Verschil van integreren x dx en x dt

Re: Verschil van integreren x dx en x dt

Re: Verschil van integreren x dx en x dt

Re: Verschil van integreren x dx en x dt

Re: Verschil van integreren x dx en x dt

Re: Verschil van integreren x dx en x dt

Re: Verschil van integreren x dx en x dt

Re: Verschil van integreren x dx en x dt

Re: Verschil van integreren x dx en x dt