[wiskunde] Inverse functie van de sinus hyperbolicus
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 43
Inverse functie van de sinus hyperbolicus
Hallo allemaal,
ik heb vandaag een toets gehad van wiskunde en er was een vraag die ik niet heb kunnen oplossen. Ik heb vrienden van mij gevraagd of zij dit hadden gevonden maar geen een van hun heeft dit gevonden. Daarom hoop ik dat dat iemand mij hier kan helpen om de vraag op de lossen.
De vraag was:
Bewijs dat arsinh x = ln(x+sqrt(x²+1))
De eerste drie stappen om de inverse functie van de sinus hyperbolicus te bepalen kan ik maar wanneer ik alles in functie van y moet schrijven zit ik echter vast.
Dit is tot waar ik raakt.
Stap 1: schrijf de functie
y = 1/2*(e^x - e^-x)
Stap 2: wissel x en y om
x = 1/2*(e^y - e^(-y))
Stap 3: alles schrijven in functie van y
2x = e^y*(1 - e^(-2y))
Maar nu zit ik echter vast...
Ik hoop dat iemand mij kan helpen
Alvast bedankt
ik heb vandaag een toets gehad van wiskunde en er was een vraag die ik niet heb kunnen oplossen. Ik heb vrienden van mij gevraagd of zij dit hadden gevonden maar geen een van hun heeft dit gevonden. Daarom hoop ik dat dat iemand mij hier kan helpen om de vraag op de lossen.
De vraag was:
Bewijs dat arsinh x = ln(x+sqrt(x²+1))
De eerste drie stappen om de inverse functie van de sinus hyperbolicus te bepalen kan ik maar wanneer ik alles in functie van y moet schrijven zit ik echter vast.
Dit is tot waar ik raakt.
Stap 1: schrijf de functie
y = 1/2*(e^x - e^-x)
Stap 2: wissel x en y om
x = 1/2*(e^y - e^(-y))
Stap 3: alles schrijven in functie van y
2x = e^y*(1 - e^(-2y))
Maar nu zit ik echter vast...
Ik hoop dat iemand mij kan helpen
Alvast bedankt
- Berichten: 2.455
Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus
neem nu z = ey, aldus verkrijg je een gewone tweedegraadsvergelijking die je naar z kan oplossen
This is weird as hell. I approve.
- Berichten: 2.455
Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus
Of alternatief kan je de gegeven uitdrukking voor de inverse invullen in de formule van sinh (m.a.w. aantonen dat sinh(arcsinh(x)) = x)
This is weird as hell. I approve.
- Pluimdrager
- Berichten: 6.596
Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus
je bent goed bezig
de inverse van y=sinus hyperbolicus x is gelijk aan
de inverse van y=sinus hyperbolicus x is gelijk aan
\(x=\frac{1}{2} \cdot \left(e^y-e^{-y}\right)\)
vermenigvuldig nu links en rechts van het =teken met 2- Pluimdrager
- Berichten: 6.596
Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus
als je links en rechts van het = teken met 2 vermenigvuldigd, dan krijg je:
\(2x=\left(e^y-e^{-y}\right) \)
dit mag je ook als volgt schrijven:\(e^y-e^{-y}-2x=0\)
begrijp je dat?-
- Berichten: 546
Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus
Het is niet mijn bedoeling om chaos te creëren, maar het kan volgens mij veel makkelijker door een ander pad te volgen. Je hoeft het helemaal niet op deze manier te doen. Als iemand daar interesse in heeft zal ik dat hier posten, maar ik wil geen verwarring scheppen of off-topic gaan.
- Berichten: 43
Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus
Wow, alvast bedankt allemaal voor de vele reacties.
Zo dan? ik ben niet zeker dat zie z^(-2) juist is
Dus dan krijg ik x = z*(1 - z^(-2))Typhoner schreef: ↑vr 08 nov 2013, 19:17
neem nu z = ey, aldus verkrijg je een gewone tweedegraadsvergelijking die je naar z kan oplossen
Zo dan? ik ben niet zeker dat zie z^(-2) juist is
Ja die stap spreekt voor zichaadkr schreef: ↑vr 08 nov 2013, 21:09
als je links en rechts van het = teken met 2 vermenigvuldigd, dan krijg je:
\(2x=\left(e^y-e^{-y}\right) \)dit mag je ook als volgt schrijven:
\(e^y-e^{-y}-2x=0\)begrijp je dat?
- Berichten: 2.455
Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus
misschien had je die substitutie beter gedaan in de voorgaande stap. In ieder geval moet je nu proberen de z uit de noemers weg te krijgen om uiteindelijk naar iets van de vorm az2 + bz + c = 0 te komen, waarbij je deze tweedegraadsvergelijking moet oplossen naar z. (Denk eraan dat a, b of c ook iets met x in kunnen zijn)Florence 123 schreef: ↑za 09 nov 2013, 10:40
Dus dan krijg ik x = z*(1 - z^(-2))
Zo dan? ik ben niet zeker dat zie z^(-2) juist is
This is weird as hell. I approve.
- Berichten: 7.390
Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus
Opmerking moderator
Laten we eerst de initiële aanpak van TS uitwerken. Daarna kunnen (eenvoudigere) alternatieven worden aangeboden. One thing at the time. Om deze reden zijn enkele berichten verwijderd, zodat het topic helder blijft. Indien iemand hier vragen bij heeft, kan je me contacteren per PB.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus
Dit is juist! Ga verder ... , zie ook hint Typhoner.Florence 123 schreef: ↑za 09 nov 2013, 10:40
Dus dan krijg ik x = z*(1 - z^(-2))
Zo dan? ik ben niet zeker dat zie z^(-2) juist is
- Berichten: 43
Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus
Bedoel je dat ik dan z - z^(-2) -2x = 0 bekom?Typhoner schreef: ↑za 09 nov 2013, 11:06
misschien had je die substitutie beter gedaan in de voorgaande stap. In ieder geval moet je nu proberen de z uit de noemers weg te krijgen om uiteindelijk naar iets van de vorm az2 + bz + c = 0 te komen, waarbij je deze tweedegraadsvergelijking moet oplossen naar z. (Denk eraan dat a, b of c ook iets met x in kunnen zijn)
Alvast heel erg bedankt
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus
Dit is niet juist, je hebt de haakjes niet goed verdreven ...
- Berichten: 43
Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus
Ik zie eigenlijk niet in hoe ik de haakjes fout heb uitgewerkt...
x=1/2*(e^y-e^(-2y))
Dan zet ik die 1/2 naar de andere kant en vervang ik e^y door z.
Dan krijg ik:
2x = z- z^(-2)
Dan zet ik alles naar de rechterkant:
0 = z - z^(-2y) -2x
Dan ga ik rangschikken en zet ik de z^(-2y) vanvoor gewoon om ze in de volgorde vaan dalende machten te zetten:
z^(-2y) - z - 2x = 0
En dan zit ik weet vast
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus
Ga eens uit van [url=javascript:toonOfVerberg(][/url] . Vermenigvuldig nu links en rechts met ey en stel vervolgens ey = z. Los nu de vergelijking in z eens op en bereken daarmee de waarde van y.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
- Berichten: 7.390
Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus
Waar komt die y nu vandaan?Dan krijg ik:
2x = z- z^(-2)
Dan zet ik alles naar de rechterkant:
0 = z - z^(-2y) -2x
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.